本题导读
本题核心考查三棱锥及正三棱锥的概念辨析。通过线面角、二面角、侧面面积与形状等定性条件，全面检验正三棱锥定义的充要条件，需要熟练掌握顶点在底面射影的几何规律。
📌【题干】
Question
（2005年全国卷II(理)） 下面是关于三棱锥的四个命题： ① 底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥； ② 底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥； ③ 底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥； ④ 侧棱与底面所成的角都相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥. 其中，真命题的编号是.（写出所有真命题的编号）
🔍【思路分析】
破题导航
- 明确正三棱锥的定义：底面是正三角形，且顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心。
- 依次分析各命题中顶点射影的位置特征：侧棱与底面成角相等对应底面外心；侧面与底面二面角相等对应底面内心（或旁心）；结合底面为等边三角形判定其射影是否能锁定在中心。
✅【答案】
Success
①④
✍【详细解析】
Abstract
对于①：若底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，则顶点在底面上的射影到三条边的距离相等。由于三棱锥的侧面二面角均面对内部，射影必落在三角形内部，即为等边三角形的内心。等边三角形的内心与中心重合，满足正三棱锥定义，①为真命题。
对于②：可以构造反例。设底面等边三角形边长为 2。若侧棱长分别为 ，此时：
- 侧面 中 ，为等腰三角形；
- 侧面 中 ，为等腰三角形；
- 侧面 中 ，为等腰三角形。 该三棱锥侧面全为等腰三角形且底面为等边三角形，但侧棱不全相等，不是正三棱锥，②为假命题。
对于③：可以构造反例。当顶点在底面上的射影落在等边三角形的某一个旁心（外心外侧）时，顶点到三条边所在直线的距离（侧面三角形的高）依然相等。由于底面边长相等，三个侧面的面积依然完全相等，但此时显然不是正三棱锥，③为假命题。
对于④：由“侧棱与底面所成的角都相等”可知顶点在底面上的射影是底面三角形的外心；由“侧面与底面所成的二面角都相等”且属于锥体内部可知射影是底面三角形的内心。外心与内心重合的三角形必为等边三角形，且射影即在其中心，完全满足正三棱锥定义，④为真命题。
综上所述，真命题的编号是 ①④。
答案：①④
💡【考点归纳与避坑指南】
Danger
- 核心考点：正三棱锥的必备射影规律（等侧棱长或等线面角 外心；等二面角或等侧面高 内心）。
- 核心方法：空间射影分析法、特值反例排除法。
- 避坑指南：
- 极易误认为②和③为真命题。思维盲区在于想当然地认为“面积相等”或“侧面等腰”时，顶点就只能对称地立在正中心，忽略了非对称的“斜拉”形态也能构造出满足条件的非正三棱锥。
📖【试题探源与推广】
Tip
- 试题探源：本题源于教材中立体几何多面体定义与特殊线面关系的综合拓展，属于考查图形对称性与空间想象力的经典概念辨析小题。
- 结论推广：关于任意三棱锥顶点 在底面 上的射影 ，具有如下通性：
- 侧棱相等 侧棱与底面成角相等 是 的外心；
- 侧面高（斜高）相等 侧面与底面二面角相等（且二面角面对锥体内部） 是 的内心。
🔗【关联脉络】
Multi column