2005-全国卷II理-10 单-平面向量的坐标表示

本题导读

本题将物理中的匀速直线运动与平面向量的坐标运算相结合，核心考查向量的数乘与加法在坐标系下的实际应用。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 点 $P$ 在平面上作匀速直线运动，速度向量 $\vec{v}=(4,-3)$（即点 $P$ 的运动方向与 $\vec{v}$ 相同，且每秒移动的距离为 $|\vec{v}|$ 个单位）.设开始时点 $P$ 的坐标为 $(-10,10)$，则 5 秒后点 $P$ 的坐标为()

A. $(-2,4)$　　　B. $(-30,25)$　　　C. $(10,-5)$　　　D. $(5,-10)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定速度向量与运动时间，利用向量的数乘运算求出 5 秒内的总位移向量。
2. 结合初始位置坐标，利用向量加法的坐标公式求出 5 秒后的终点坐标。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

设开始时点 $P$ 的位置向量为 $\overrightarrow{O{P}_0}=(-10,10)$，运动速度向量为 $\vec{v}=(4,-3)$。 由于点 $P$ 作匀速直线运动，5 秒内的位移向量为： $\Delta \vec{s}=5\vec{v}=5\times (4,-3)=(20,-15)$

设 5 秒后点 $P$ 的位置向量为 $\overrightarrow{O{P}_5}$，根据向量加法的几何意义，有： $\overrightarrow{O{P}_5}=\overrightarrow{O{P}_0}+\Delta \vec{s}$

用坐标表示为： $\overrightarrow{O{P}_5}=(-10,10)+(20,-15)=(-10+20,10-15)=(10,-5)$

因此，5 秒后点 $P$ 的坐标为 $(10,-5)$。

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面向量的数乘与加法坐标运算法则：$\lambda (x,y)=(\lambda x,\lambda y)$，$(x_1,y_1)+(x_2,y_2)=(x_1+x_2,y_1+y_2)$。
2. 核心方法：位移向量合成法。
3. 避坑指南：注意理解物理背景与几何向量的对应关系，“每秒移动的距离为 $|\vec{v}|$”说明速度的大小就是向量的模，不需要对速度向量进行单位化处理，直接用时间数乘即可。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于高中数学平面向量应用章节中关于“向量在物理中的应用”的经典模型，体现了数理交汇的命题导向。
2. 结论推广：若点 $P$ 的初始坐标为 $(x_0,y_0)$，速度向量为 $\vec{v}=(a,b)$，作匀速直线运动，则 $t$ 秒后点 $P$ 的坐标公式可一般化推广为：$(x_t,y_t)=(x_0+at,y_0+bt)$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算 类题演练 (Links)
• 2001-新课标卷文-05 单-向量坐标运算
• 2004-上海卷文-06 填-向量定坐标