2005-全国卷II理-07 单-三角两角和与差的余弦公式

本题导读

本题核心考查三角恒等变换在解三角形中的应用。通过切化弦及二倍角公式将已知条件统一为正弦与余弦的代数式，再利用两角和与差的余弦公式确定角 $A$ 与角 $B$ 的数量关系。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 锐角三角形的内角 $A、B$ 满足 $\tan A-\frac{1}{\sin 2A}=\tan B$，则有()

A. $\sin 2A-\cos B=0$　B. $\sin 2A+\cos B=0$　C. $\sin 2A-\sin B=0$　D. $\sin 2A+\sin B=0$

🔍【思路分析】

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1. 对已知等式左边进行“切化弦”，并利用二倍角公式通分简化。
2. 将等式两边展开为正弦、余弦的乘积形式，并移项合并，逆用两角差的余弦公式。
3. 结合锐角三角形的内角范围，确定 $2A$ 与 $B$ 的具体线性关系，代入各选项进行验证。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

将已知等式中的正切函数展开为正弦与余弦的比值形式： $\frac{\sin A}{\cos A}-\frac{1}{2\sin A\cos A}=\frac{\sin B}{\cos B}$

左边通分得： $\frac{2{\sin }^{2}A-1}{2\sin A\cos A}=\frac{\sin B}{\cos B}$

利用二倍角公式 $2{\sin }^{2}A-1=-\cos 2A$ 以及 $2\sin A\cos A=\sin 2A$ 代入上式： $\frac{-\cos 2A}{\sin 2A}=\frac{\sin B}{\cos B}$

交叉相乘去分母： $-\cos 2A\cos B=\sin 2A\sin B$ $\sin 2A\sin B+\cos 2A\cos B=0$

逆用两角差的余弦公式得： $\cos (2A-B)=0$

因为 $△ABC$ 为锐角三角形，所以 $0<A<\frac{\pi }{2}$ 且 $0<B<\frac{\pi }{2}$。 从而有 $0<2A<\pi$， $-\frac{\pi }{2}<-B<0$， 两式相加确定角范围： $-\frac{\pi }{2}<2A-B<\pi$。 在此区间内，满足 $\cos (2A-B)=0$ 的解只有： $2A-B=\frac{\pi }{2}⟹2A=\frac{\pi }{2}+B$

两边同时取正弦： $\sin 2A=\sin \left(\frac{\pi }{2}+B\right)=\cos B$ 整理得 $\sin 2A-\cos B=0$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：切化弦思想、二倍角余弦公式的逆用、两角差的余弦公式 $\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$。
2. 核心方法：统一函数名称法，通过结构特征向和差角公式靠拢。
3. 避坑指南：

• 变形陷阱：在化简 $2{\sin }^{2}A-1$ 时，极易混淆符号，应准确记为 $-\cos 2A$。
• 范围判定：在解方程 $\cos (2A-B)=0$ 时，必须严格结合“锐角三角形”这一约束（不仅 $A,B$ 为锐角，且 $A+B>\frac{\pi }{2}$），对多值解进行精确筛选，确保逻辑严密。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中三角恒等变换公式的大综合，侧重考查考生在复杂三角式中识别、组合和重构基本公式的运算变形能力。
2. 结论推广：在任意三角形中，若满足 $\cot 2A+\tan B=0$，则必有 $2A-B=\frac{\pi }{2}+k\pi$（$k\in \mathbb{Z}$）。结合具体几何范围可对各三角函数名进行相互余弦化转化。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 11.05 射影定理与内角和性质

类题演练 (Links)