2005-全国卷II理-06 单-双曲线的标准方程与几何性质

本题导读

本题核心考查双曲线的标准方程、几何性质（焦点、通径）以及双曲线的定义。利用点在双曲线上的位置构造直角三角形，结合面积法求解点到直线的距离。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$ 的焦点为 $F_1、F_2$，点 $M$ 在双曲线上且 $M{F}_1\perp x$ 轴，则 $F_1$ 到直线 $F_{2}M$ 的距离为()

A. $\frac{3\sqrt{6}}{5}$　　　　　　B. $\frac{5\sqrt{6}}{6}$　　　　　　C. $\frac{6}{5}$　　　　　　D. $\frac{5}{6}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由双曲线方程求出基本量 $a,b,c$，确定焦点坐标及焦距 $|F_1{F}_2|$。
2. 利用 $M{F}_1\perp x$ 轴求出点 $M$ 的纵坐标，确定线段 $|M{F}_1|$ 的长度，再利用双曲线定义求出斜边 $|M{F}_2|$ 的长度。
3. 在直角三角形 $△M{F}_1{F}_2$ 中，利用面积法求出 $F_1$ 到斜边 $F_{2}M$ 的距离。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程 $\frac{x^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1$ 可知： $a^2=6⟹a=\sqrt{6}$ $b^2=3$ $c^2=a^2+b^2=6+3=9⟹c=3$ 故焦距 $|F_1{F}_2|=2c=6$。

因为点 $M$ 在双曲线上且 $M{F}_1\perp x$ 轴，线段 $M{F}_1$ 即为双曲线的通径的一半。 将 $x=-3$ 代入双曲线方程得： $\frac{(-3{)}^2}{6}-\frac{y^2}{3}=1⟹\frac{3}{2}-\frac{y^2}{3}=1⟹y^2=\frac{3}{2}⟹|M{F}_1|=\frac{\sqrt{6}}{2}$

根据双曲线的定义， $|M{F}_2|-|M{F}_1|=2a=2\sqrt{6}$， 所以： $|M{F}_2|=2\sqrt{6}+\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{5\sqrt{6}}{2}$

在直角三角形 $△M{F}_1{F}_2$ 中， $\angle M{F}_1{F}_2=90^{\circ }$。 设 $F_1$ 到直线 $F_{2}M$ 的距离为 $d$。 由等面积法 $\frac{1}{2}|M{F}_1|\cdot |F_1{F}_2|=\frac{1}{2}|M{F}_2|\cdot d$ 得： $d=\frac{|M{F}_1|\cdot |F_1{F}_2|}{|M{F}_2|}=\frac{\frac{\sqrt{6}}{2}\times 6}{\frac{5\sqrt{6}}{2}}=\frac{6}{5}$

故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线的通径长度公式为 $\frac{2b^2}{a}$，双曲线焦点三角形的几何关系。
2. 核心方法：利用双曲线定义求出 $|M{F}_2|$，规避二次勾股定理的大量根式运算；利用等面积法求点到直线的距离。
3. 避坑指南：求 $|M{F}_2|$ 时若直接对直角三角形使用勾股定理进行计算，运算过程较为繁琐。由双曲线定义直接解出斜边长度可优化解题速度。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中关于双曲线焦点三角形与通径定义的经典基础习题，考查对圆锥曲线基本定义的定量化转化能力。
2. 结论推广：对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，点 $M$ 满足 $M{F}_1\perp x$ 轴，则 $F_1$ 到直线 $F_{2}M$ 的距离 $d$ 的通用代数解析式可推广为：$d=\frac{2bc}{a^2+c^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)