2005-全国卷II文-04 单-正切函数单调性定参

本题导读

本题考查正切函数的图象与单调性。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)） 已知函数 $y=\tan \omega x$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 内是减函数，则()

A. $0<\omega \le 1$　　　　　　B. $-1\le \omega <0$　　　　　　C. $\omega \ge 1$　　　　　　D. $\omega \le -1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 函数在开区间内有定义，需 $|\omega x|<\frac{\pi }{2}$ 对该区间内所有 $x$ 成立，即 $|\omega |\le 1$。
2. $y^{\prime }=\omega {\sec }^2\omega x$，而 ${\sec }^2\omega x>0$，减函数要求 $\omega <0$。
3. 两条件取交集得 $-1\le \omega <0$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

函数 $y=\tan \omega x$ 在 $\left(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2}\right)$ 内有定义，需满足 $|\omega x|<\frac{\pi }{2}$ 对该区间内所有 $x$ 成立，故 $|\omega |\le 1$． 又 $y^{\prime }=\omega {\sec }^2\omega x$，而 ${\sec }^2\omega x>0$ 恒成立，故函数为减函数等价于 $\omega <0$． 综上 $-1\le \omega <0$． 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正切函数单调性定参

核心方法：$y=\tan \omega x$ 在开区间内有定义需 $|\omega |\le 1$；减函数要求 $\omega <0$（因 $y^{\prime }=\omega {\sec }^2\omega x$），故 $-1\le \omega <0$

避坑指南：正切函数在 $(-\frac{\pi }{2},\frac{\pi }{2})$ 内是增函数，故减函数需 $\omega <0$；同时区间有定义要求 $|\omega x|<\frac{\pi }{2}$，得 $|\omega |\le 1$，别漏有定义条件

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正切函数单调性由 $\omega$ 符号决定是易错选择

结论推广：$y=\tan \omega x$ 减函数 $\iff \omega <0$，且区间内有定义需 $|\omega |\le 1$

方法推广：分离”有定义”与”单调”两个条件分别求交集

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练 (Links)

• 2009-大纲Ⅰ文-04 单-正切和角公式
• 2010-大纲Ⅱ文-03 单-诱导二倍角求值