2005-全国卷I理-10 单-简单线性规划

本题导读

本题核心考查二元不等式组所表示的平面区域的确定方法。解答的关键在于正确去掉绝对值符号，将区域边界转化为分段线性直线，通过画出可行域并利用割补法求出三角形的面积。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 在坐标平面上，不等式组 $\{\begin{array}{l}y\ge x-1\\ y\le -3|x|+1\end{array}$ 所表示的平面区域的面积为()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. 2

🔍【思路分析】

破题导航

1. 去掉绝对值符号，将第二个不等式转化为分段不等式，从而明确边界线。
2. 在直角坐标系中画出不等式组对应的可行域，确定其几何形状为三角形。
3. 求出三角形的各顶点坐标，利用 $y$ 轴将三角形分割为左右两部分，分别计算面积并相加。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

将原不等式组中的绝对值展开，等价于以下两个不等式组： 当 $x\ge 0$ 时，$\{\begin{array}{l}y\ge x-1\\ y\le -3x+1\end{array}$； 当 $x<0$ 时，$\{\begin{array}{l}y\ge x-1\\ y\le 3x+1\end{array}$。

在直角坐标系中做出该不等式组表示的平面区域，可知其为一个三角形。

• 边界线 $y=-3x+1$ 与 $y=3x+1$ 相交于点 $A(0,1)$。
• 联立 $\{\begin{array}{l}y=x-1\\ y=-3x+1\end{array}$，解得交点 $B\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right)$。
• 联立 $\{\begin{array}{l}y=x-1\\ y=3x+1\end{array}$，解得交点 $C(-1,-2)$。

该三角形被 $y$ 轴分为两部分，直线 $y=x-1$ 与 $y$ 轴的交点为 $D(0,-1)$。 落在 $y$ 轴上的线段 $AD$ 的长度为 $|1-(-1)|=2$，可将其作为左右两个小三角形的公共底。

• 左侧 $△ACD$ 的高为点 $C$ 到 $y$ 轴的距离，即 $h_1=|-1|=1$；
• 右侧 $△ABD$ 的高为点 $B$ 到 $y$ 轴的距离，即 $h_2=\left|\frac{1}{2}\right|=\frac{1}{2}$。

因此，该平面区域的面积为： $S=S_{△ACD}+S_{△ABD}=\frac{1}{2}\times 2\times 1+\frac{1}{2}\times 2\times \frac{1}{2}=1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面可行域的画法、分段函数的图像、割补法算面积。
2. 核心方法：分类讨论去掉绝对值；用平行于坐标轴的谱线（本题为 $y$ 轴）进行三角形面积割补。
3. 避坑指南：

• 符号陷阱：去掉绝对值时容易漏掉 $x<0$ 时 $-3|x|$ 变为 $3x$ 的符号转换。
• 面积计算：由于三边均不平行于坐标轴，直接用两点间距离公式求边长再用海伦公式会带来极大的计算量。采用底在坐标轴上的割补法（轴分法）最为快捷。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是由教材中线性规划的可行域问题改编而来的能力提升题，引入了绝对值函数，加深了对函数图象对称性与分段讨论的考查。
2. 结论推广：若区域由 $y\ge kx+m$ 与 $y\le -a|x|+n$ （其中 $a>|k|$）围成，其交 $y$ 轴的底长为 $d=|n-m|$，则围成的三角形面积通用公式可表示为 $S=\frac{1}{2}\cdot d\cdot \left(\frac{d}{a-k}+\frac{d}{a+k}\right)$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)