2005-浙江卷文-10 单-三角形三边约束的平面区域

本题导读

本题考查三角形三边关系的代数化，以及二元不等式组表示平面区域的判定。

📌【题干】

Question

（2005年浙江卷(文)） 设集合 $A=\{(x,y)\mid x,y,1-x-y$ 是三角形的三边长$\}$，则 $A$ 所表示的平面区域（不含边界的阴影部分）是() （四个选项的阴影区域图见配图）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三边为正给出三个不等式。
2. 两边之和大于第三边轮流使用，共三个约束。
3. 对照四个选项的阴影位置。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由三角形三边关系：$x>0$，$y>0$，$1-x-y>0$，且两边之和大于第三边：$x+y>1-x-y$ 即 $x+y>\frac{1}{2}$；$x+(1-x-y)>y$ 即 $y<\frac{1}{2}$；$y+(1-x-y)>x$ 即 $x<\frac{1}{2}$．故区域为 $x<\frac{1}{2}$，$y<\frac{1}{2}$，$x+y>\frac{1}{2}$，$x>0$，$y>0$（不含边界）所围成的小开三角形，顶点为 $(0,\frac{1}{2})$，$(\frac{1}{2},0)$，$(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$，与选项 A 的阴影区域一致，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角形三边约束的平面区域

核心方法：三条限制译成不等式组再取交

避坑指南：两边之和大于第三边对三边轮流用：$x+y>\frac{1}{2}$、$x<\frac{1}{2}$、$y<\frac{1}{2}$，区域是靠近 $(\frac{1}{2},\frac{1}{2})$ 的小三角形，别画成大三角形

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：人教 A 版必修 5 不等式与线性规划

结论推广：三角形三边约束 $x,y,1-x-y$ 轮流用”两边之和大于第三边”得线性不等式组

方法推广：几何约束代数化是解析几何基本功：可行域画”虚边界”对应开区域（不含边界）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2005-全国卷I理-10 单-简单线性规划
• 2020-新课标III文-13 填-线性规划
• 2018-全国卷II理-14 填-线性规划