2005-全国卷I理-06 单-双曲线的几何性质

本题导读

本题核心考查双曲线与抛物线的标准方程及其几何性质。通过两种圆锥曲线的准线方程重合这一条件，建立关于双曲线基本量 $a,c$ 的方程，从而求出双曲线的离心率。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(理)） 已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1(a>0)$ 的一条准线与抛物线 $y^2=-6x$ 的准线重合，则该双曲线的离心率为()

A. $\frac{\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{6}}{2}$　　　　　　D. $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 根据抛物线的标准方程 $y^2=-2px$，求出其准线方程。
2. 根据双曲线的标准方程，写出其准线方程表达式，并结合“准线重合”建立关于 $a$ 和 $c$ 的等量关系。
3. 利用双曲线中 $c^2=a^2+b^2$ 的关系求出 $a^2$ 与 $c^2$ 的具体值，进而通过 $e=\frac{c}{a}$ 计算出离心率。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

对于抛物线 $y^2=-6x$，其开口向左， $2p=6⟹\frac{p}{2}=\frac{3}{2}$， 所以其准线方程为 $x=\frac{3}{2}$。

对于双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-y^2=1$，其焦点在 $x$ 轴上，且 $b^2=1$， 故 $c^2=a^2+b^2=a^2+1$。 该双曲线的准线方程为 $x=\pm \frac{a^2}{c}$。

因为双曲线的一条准线与抛物线的准线重合， 所以 $\frac{a^2}{c}=\frac{3}{2}$，即 $c=\frac{2}{3}{a}^2$。

将 $c=\frac{2}{3}{a}^2$ 代入 $c^2=a^2+1$ 中，得： ${\left(\frac{2}{3}{a}^2\right)}^2=a^2+1⟹\frac{4}{9}{a}^4-a^2-1=0$

两边同乘以 9 整理得： $4(a^2{)}^2-9a^2-9=0⟹(4a^2+3)(a^2-3)=0$

因为 $a>0⟹a^2>0$，所以 $4a^2+3>0$， 解得 $a^2=3$。 代入可得 $c^2=a^2+1=3+1=4$。

因此，该双曲线的离心率为： $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{c^2}{a^2}}=\sqrt{\frac{4}{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆锥曲线的标准方程、双曲线的准线（$x=\pm \frac{a^2}{c}$）与离心率（$e=\frac{c}{a}$）、抛物线的准线（$x=\frac{p}{2}$）。
2. 核心方法：方程法。利用基本量关系 $c^2=a^2+b^2$ 搭建桥梁，整体求解 $a^2$。
3. 避坑指南：

• 极易记错抛物线 $y^2=-6x$ 的准线位置。由于其开口向左，准线应在 $x$ 轴正半轴，即 $x=\frac{3}{2}$，切勿混淆为 $x=-\frac{3}{2}$ 或 $x=3$。
• 在化简高次方程 $\frac{4}{9}{a}^4-a^2-1=0$ 时，应及时使用换元思想将 $a^2$ 视为整体，转化为一元二次方程求解，避免陷入复杂的开方运算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于教材中关于双曲线与抛物线基本几何性质的综合练习。通过“共线”这一特征将两种不同的圆锥曲线巧妙地结合在一起，重点考查基本概念的清晰度。
2. 结论推广：若焦点在 $x$ 轴上的双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 的一条准线与开口向左的抛物线 $y^2=-2px(p>0)$ 的准线重合，则必有 $\frac{a^2}{c}=\frac{p}{2}$。通过此式结合 $c^2=a^2+b^2$，可直接得到关于 $a^2$ 的通用方程：$4(a^2{)}^2-p^2{a}^2-p^2{b}^2=0$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.03 抛物线专题全总结

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