2005-全国卷I文-20 解-种子发芽概率

本题导读

本题考查相互独立事件、对立事件与独立重复试验的概率。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） $9$ 粒种子分种在甲、乙、丙 $3$ 个坑内，每坑 $3$ 粒，每粒种子发芽的概率为 $0.5$．若一个坑内至少有 $1$ 粒种子发芽，则这个坑不需要补种；若一个坑内的种子都没发芽，则这个坑需要补种．

(1)求甲坑不需要补种的概率；

(2)求 $3$ 个坑中恰有 $1$ 个坑不需要补种的概率；

(3)求有坑需要补种的概率．（精确到 $0.001$）

🔍【思路分析】

破题导航

1.（1）“不需补种”的对立事件是”3 粒全不发”：$1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^3$。 2.（2）恰有 1 坑不需补种：${\mathrm{C}}_3^1\left(\frac{7}{8}\right){\left(\frac{1}{8}\right)}^2$。 3.（3）“有坑需补种”的对立事件是”3 坑都不需补种”：$1-{\left(\frac{7}{8}\right)}^3$。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{7}{8}$；(2) $\frac{21}{512}\approx 0.041$；(3) $\frac{169}{512}\approx 0.330$

✍【详细解析】

Abstract

（1）甲坑内每粒种子不发芽的概率为 $\frac{1}{2}$，三粒都不发芽的概率为 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{1}{8}$． 故甲坑不需要补种的概率为 $1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}$． （2）每个坑不需要补种的概率均为 $\frac{7}{8}$，三个坑相互独立． 恰有 $1$ 个坑不需要补种的概率为 ${\mathrm{C}}_3^1\cdot \frac{7}{8}\cdot {\left(1-\frac{7}{8}\right)}^2=3\times \frac{7}{8}\times \frac{1}{64}=\frac{21}{512}\approx 0.041$． （3）“有坑需要补种”的对立事件是”三个坑都不需要补种”，其概率为 ${\left(\frac{7}{8}\right)}^3=\frac{343}{512}$． 故所求概率为 $1-\frac{343}{512}=\frac{169}{512}\approx 0.330$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：种子发芽概率

核心方法：（1）甲坑不需补种 $1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^3=\frac{7}{8}$；（2）${\mathrm{C}}_3^1\cdot \frac{7}{8}\cdot {\left(\frac{1}{8}\right)}^2$；（3）$1-{\left(\frac{7}{8}\right)}^3\approx 0.330$

避坑指南：“每坑 3 粒、至少 1 粒发芽”用对立事件（全不发）最快；三个坑相互独立，“恰有 1 个”要乘组合数 ${\mathrm{C}}_3^1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于独立重复试验与对立事件，教材”概率”中二项分布的应用

结论推广：一般化：$n$ 坑各 $m$ 粒、发芽率 $p$ 的补种模型：单坑不需补种概率 $1-(1-p{)}^m$，恰有 $k$ 坨需补种服从二项分布

方法推广：“至少”用对立事件，“恰有”用组合数乘概率的幂；精确到 0.001 注意四舍五入

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

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