2005-全国卷I文-09 单-线性规划区域面积

本题导读

本题考查二元一次不等式组表示的平面区域及其面积。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 在坐标平面上，不等式组 $\{\begin{array}{l}y\ge x-1,\\ y\le -3|x|+1\end{array}$ 所表示的平面区域的面积为()

A. $\sqrt{2}$　　　　　　　B. $\frac{3}{2}$　　　　　　　C. $\frac{3\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 去绝对值：$y\le -3|x|+1$ 即 $x\ge 0$ 时 $y\le -3x+1$，$x<0$ 时 $y\le 3x+1$。
2. 求顶点：$(0,1)$（两段边界交点）；$y=x-1$ 与 $y=-3x+1$ 交于 $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$；$y=x-1$ 与 $y=3x+1$ 交于 $(-1,-2)$。
3. 三角形面积：以 $(0,1)$ 为顶点，两向量叉乘绝对值的一半。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $y\le -3|x|+1$：当 $x\ge 0$ 时 $y\le -3x+1$；当 $x<0$ 时 $y\le 3x+1$． 可行域顶点：$x=0$ 处上边界 $y=1$，下边界 $y=x-1$ 给出 $y\ge -1$，故 $(0,1)$ 为上顶点（$x=0$ 时 $y=1$ 恰为边界交点）； $y=x-1$ 与 $y=-3x+1$ 联立：$x-1=-3x+1$，$x=\frac{1}{2}$，$y=-\frac{1}{2}$，得 $(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$； $y=x-1$ 与 $y=3x+1$ 联立：$x-1=3x+1$，$x=-1$，$y=-2$，得 $(-1,-2)$． 可行域为以 $(0,1)$、$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$、$(-1,-2)$ 为顶点的三角形， 由向量法：$\overrightarrow{AB}=(\frac{1}{2},-\frac{3}{2})$，$\overrightarrow{AC}=(-1,-3)$， 面积 $=\frac{1}{2}\left|\frac{1}{2}\times (-3)-\left(-\frac{3}{2}\right)\times (-1)\right|=\frac{1}{2}\left|-\frac{3}{2}-\frac{3}{2}\right|=\frac{3}{2}$． 故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：线性规划区域面积

核心方法：画可行域得顶点 $(0,1)$、$(\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$、$(-1,-2)$，由三角形面积公式得 $\frac{3}{2}$

避坑指南：区域顶点要分段联立：$y=-3|x|+1$ 在 $x\ge 0$ 与 $x<0$ 两段分别与 $y=x-1$ 求交；面积用向量叉乘或割补都行，别漏绝对值

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于二元一次不等式组表示的平面区域，教材”简单的线性规划问题”

结论推广：一般化：含绝对值的边界 $y=\pm 3x+1$ 分两段处理，可行域为三角形时面积由顶点坐标直接算

方法推广：先分段去绝对值画边界，联立求顶点，再用鞋带公式或割补求面积

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 03.06 简单的线性规划

类题演练 (Links)

• 2008-大纲Ⅰ文-13 填-线性规划最值
• 2009-新课标Ⅰ文-06 单-线性规划开区域
• 2008-新课标Ⅰ文-10 单-线性规划距离范围
• 2006-全国卷I文-15 填-线性规划目标最值