2005-全国卷I文-06 单-三角分式化简求最值

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及用均值不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷I(文)） 当 $0<x<\frac{\pi }{2}$ 时，函数 $f(x)=\frac{1+\cos 2x+8{\sin }^{2}x}{\sin 2x}$ 的最小值为()

A. $2$　　　　　　　B. $2\sqrt{3}$　　　　　　　C. $4$　　　　　　　D. $4\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 降幂：$1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$，分母 $\sin 2x=2\sin x\cos x$。
2. 约分得 $f(x)=\frac{{\cos }^{2}x+4{\sin }^{2}x}{\sin x\cos x}=\cot x+4\tan x$。
3. 设 $t=\tan x>0$，$f=\frac{1}{t}+4t\ge 2\sqrt{4}=4$，$t=\frac{1}{2}$ 时取等。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\frac{1+\cos 2x+8{\sin }^{2}x}{\sin 2x}=\frac{2{\cos }^{2}x+8{\sin }^{2}x}{2\sin x\cos x}=\frac{{\cos }^{2}x+4{\sin }^{2}x}{\sin x\cos x}$． 分子分母同除以 ${\cos }^{2}x$（$0<x<\frac{\pi }{2}$ 时 $\cos x>0$）： $f(x)=\frac{1+4{\tan }^{2}x}{\tan x}=\cot x+4\tan x$． 设 $t=\tan x>0$，则 $f=\frac{1}{t}+4t\ge 2\sqrt{\frac{1}{t}\cdot 4t}=4$， 当且仅当 $\frac{1}{t}=4t$，即 $t=\frac{1}{2}$（$x=\arctan \frac{1}{2}\in \left(0,\frac{\pi }{2}\right)$）时取等号． 故最小值为 $4$． 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角分式化简求最值

核心方法：整体约分：$f(x)=\frac{1+\cos 2x+8{\sin }^{2}x}{\sin 2x}=\frac{{\cos }^{2}x+4{\sin }^{2}x}{\sin x\cos x}=\cot x+4\tan x\ge 4$

避坑指南：分子 $1+\cos 2x$ 与 $8{\sin }^{2}x$ 同除以 $\sin x\cos x$ 前先降幂；均值不等式取等要检验 $x\in (0,\frac{\pi }{2})$ 内 $\tan x=\frac{1}{2}$ 可取

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：源于三角恒等变换与均值不等式的结合，教材”三角恒等变换”综合题

结论推广：一般化：$\frac{{\cos }^{2}x+k{\sin }^{2}x}{\sin x\cos x}=\cot x+k\tan x\ge 2\sqrt{k}$（锐角范围内）

方法推广：分式三角先降幂（$1+\cos 2x=2{\cos }^{2}x$），再同除以 $\sin x\cos x$ 化为切函数用均值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.02 倍角、降幂与升幂公式
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2008-新课标Ⅰ文-11 单-三角函数值域
• 2009-大纲Ⅰ文-04 单-正切和角公式
• 2006-全国卷I文-18 解-三角化简配方法求最值
• 2008-大纲Ⅰ文-06 单-三角奇偶周期