2004-广东卷理-09 单-三角恒等变换

本题导读

本题考查三角恒等变换，以及均值不等式求最值。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 当 $0<x<\frac{\pi }{4}$ 时，函数 $f(x)=\frac{{\cos }^{2}x}{\cos x\cdot \sin x-{\sin }^{2}x}$ 的最小值是 ()

A. $4$　　　　　　　B. $\frac{1}{2}$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $\frac{1}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：由于分式的分子含有 ${\cos }^{2}x$，分母项分别为 $\cos x\cdot \sin x$ 与 ${\sin }^{2}x$，分子分母的每一项对于 $\sin x,\cos x$ 而言其总次数均为 2 次（即二次齐次式）。考虑使用“弦化切”技巧：分子分母同时除以 ${\cos }^{2}x$，将所有项转化为由正切函数 $\tan x$ 表达的代数式。
2. 第二步逻辑：化简后的函数形式为 $f(x)=\frac{1}{\tan x-{\tan }^{2}x}=\frac{1}{\tan x(1-\tan x)}$。根据已知区间 $0<x<\frac{\pi }{4}$，求出 $\tan x$ 的取值范围，从而判定 $\tan x$ 与 $1-\tan x$ 均为正数。将分母看作两正数之积，运用基本不等式 $ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$ 控算出分母的最大值，进而求得整个分式的最小值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 对二次齐次分式进行“弦化切”化简： 将函数表达式的分子与分母同时除以 ${\cos }^{2}x$： $f(x)=\frac{\frac{{\cos }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}{\frac{\cos x\cdot \sin x}{{\cos }^{2}x}-\frac{{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}}$ 代入同角三角函数关系 $\frac{\sin x}{\cos x}=\tan x$，化简得： $f(x)=\frac{1}{\tan x-{\tan }^{2}x}=\frac{1}{\tan x(1-\tan x)}\text{（式1）}$

• 确定变量范围与正负号： 已知 $0<x<\frac{\pi }{4}$，根据正切函数的单调性，其对应的取值范围为： $\tan 0<\tan x<\tan \frac{\pi }{4}⟹0<\tan x<1$ 由 $0<\tan x<1$ 可知，分母中的两个因子均满足严格的正数约束： $\tan x>0,1-\tan x>0$

• 运用基本不等式求最值： 考查（式1）中的分母多项式 $\tan x(1-\tan x)$。由于两因子均为正数，且它们的和为常数（$\tan x+(1-\tan x)=1$），适用基本不等式： $\tan x\cdot (1-\tan x)\le {\left[\frac{\tan x+(1-\tan x)}{2}\right]}^2={\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{4}\text{（式2）}$

  当且仅当两因子严格相等时，等号成立： $\tan x=1-\tan x⟹2\tan x=1⟹\tan x=\frac{1}{2}$ 因为 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，说明等号在已知定义域内完全可以取得。

  根据倒数不等式性质，当分母取得最大值时，整个分式取得最小值。将（式2）的最大值代回（式1）中： $f(x{)}_{\text{min}}=\frac{1}{\frac{1}{4}}=4$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三角齐次式通过分子分母同除以 ${\cos }^{2}x$ 向正切有理分式的化归；基本不等式 $ab\le {\left(\frac{a+b}{2}\right)}^2$ 在分母求最大值中的应用。
2. 核心方法：弦化切齐次化简法、基本不等式积最大法。
3. 避坑指南：
   • 极易盲目套用二倍角公式。部分学生看到分母有 $\cos x\sin x$ 习惯性化为 $\frac{1}{2}\sin 2x$，而把 ${\sin }^{2}x$ 化为 $\frac{1-\cos 2x}{2}$。虽然最终也能通过辅助角公式化简为 $\frac{2}{\sqrt{2}\sin (2x+\frac{\pi }{4})-1}$ 求解，但由于自变量在分母且含有复杂的偏置，在已知区间下极易算错单调性与最值，运算性价比极低。凡遇到式中各项次数均为二次（或齐次）时，必须无条件首选“弦化切”方法。
   • 使用基本不等式前，必须雷打不动地核验“一正、二定、三相等”三个前置大前提。本题中 $\tan x$ 和 $1-\tan x$ 均为正，和为定值 1，且等号点 $\tan x=\frac{1}{2}$ 落在区间内，核验无误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高考大纲中三角恒等变换与代数不等式复合的经典二轮专题题目，属于考查学生对齐次结构敏感度的高频题型。
2. 结论推广: 一般地，设二次齐次分式图形为 $f(x)=\frac{\alpha {\cos }^{2}x+\beta \sin x\cos x}{\gamma \sin x\cos x-\delta {\sin }^{2}x}$，若满足区间使得正切项全正且通过配凑可消去变量为定值，则均可通过换元 $t=\tan x$ 转化为一维代数有理函数 $f(t)$。利用基本不等式或判别式法，可以完整地求得该图形在任意紧致区间内的最大值与最小值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 03.02 均值不等式

类题演练 (Links)

• 1986-广东理-10 单-均值不等式求最值
• 2005-全国卷I文-06 单-三角分式化简求最值
• 1986-上海文-32 解-三角式的最值