2005-上海卷文-16 单-排列与数阵

本题导读

本题考查排列的对称性与数阵求和。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 用 $n$ 个不同的实数 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 可得到 $n!$ 个不同的排列，每个排列为一行写成一个 $n!$ 行的数阵．对第 $i$ 行 $a_{i1},a_{i2},\cdots ,a_{in}$，记 $b_i=-a_{i1}+2a_{i2}-3a_{i3}+\cdots +(-1{)}^{n}n{a}_{in}$，$i=1,2,3,\cdots ,n!$． 例如：用 $1,2,3$ 可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是 $12$，所以 $b_1+b_2+\cdots +b_6=-12+2\times 12-3\times 12=-24$．那么，在用 $1,2,3,4,5$ 形成的数阵中，$b_1+b_2+\cdots +b_{120}=$()

A. $-3600$　　　　　B. $1800$　　　　　C. $-1080$　　　　　D. $-720$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每个数字在每个位置出现 $4!=24$ 次，每列和 $=24\times (1+2+3+4+5)=360$。
2. 系数和 $-1+2-3+4-5=-3$，总和 $=-3\times 360=-1080$。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

用 $1,2,3,4,5$ 排列，共 $5!=120$ 行，每个数字在每一列中出现 $4!=24$ 次． 故每一列各数之和为 $24\times (1+2+3+4+5)=360$． $b_1+\cdots +b_{120}=-1\times 360+2\times 360-3\times 360+4\times 360-5\times 360=(-1+2-3+4-5)\times 360=-1080$． 故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：排列与数阵

核心方法：每列各数之和 $=4!\times (1+2+3+4+5)=360$，加权求和

避坑指南：$b_i$ 的系数 $(-1{)}^{n}n$ 与列和配对：五个系数和 $-1+2-3+4-5=-3$，乘 $360$ 得 $-1080$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：排列数阵题是计数原理与代数结构的结合（源自竞赛背景）

结论推广：$n$ 元排列数阵每列和为 $(n-1)!\cdot \frac{n(n+1)}{2}$

方法推广：对称性计数：每元素在各位置出现次数相同

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2001-大纲理-16 填-圆周角定理
• 2018-全国卷II文-05 单-古典概型