2005-上海卷文-14 单-集合交集

本题导读

本题考查绝对值不等式与分式不等式的解法及集合的交集。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 已知集合 $M=\{x\mid \left|x-1\right|⩽2,x\in \mathbf{R}\}$，$P=\left\{x|\frac{5}{x+1}⩾1,x\in \mathbf{Z}\right\}$，则 $M\cap P$ 等于()

A. $\{x\mid 0<x⩽3,x\in \mathbf{Z}\}$　　B. $\{x\mid 0⩽x⩽3,x\in \mathbf{Z}\}$　　C. $\{x\mid -1⩽x⩽0,x\in \mathbf{Z}\}$　　D. $\{x\mid -1⩽x<0,x\in \mathbf{Z}\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $M=[-1,3]$；$\frac{5}{x+1}⩾1⟺0<x+1⩽5⟺-1<x⩽4$。
2. $P$ 中整数为 $0,1,2,3,4$，与 $M$ 之交为 $\{0,1,2,3\}$。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

由 $\left|x-1\right|⩽2$ 得 $-1⩽x⩽3$，即 $M=[-1,3]$． 由 $\frac{5}{x+1}⩾1$ 且 $x\in \mathbf{Z}$：需 $x+1>0$ 且 $x+1⩽5$，即 $-1<x⩽4$，整数 $x\in \{0,1,2,3,4\}$． 故 $M\cap P=\{0,1,2,3\}=\{x\mid 0⩽x⩽3,x\in \mathbf{Z}\}$，选 B．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：集合交集

核心方法：分别解 $|x-1|⩽2$ 与 $\frac{5}{x+1}⩾1$ 后取交

避坑指南：分式不等式先移项通分，且 $x+1>0$ 与 $x+1⩽5$ 联立；整数集限定勿忘

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：集合交集与不等式解集的综合是集合章常规题

结论推广：含参数分式不等式 $\frac{a}{x+b}⩾1$ 化整式不等式组

方法推广：分母符号分类讨论是关键步骤

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

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• 2012-大纲卷文-14 填-线性规划最值