2005-上海卷文-12 填-棱柱拼接与表面积

本题导读

本题考查直三棱柱的拼接方式与全面积的比较。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 有两个相同的直三棱柱，高为 $\frac{2}{a}$，底面三角形的三边长分别为 $3a$，$4a$，$5a$（$a>0$）．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则 $a$ 的取值范围是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三棱柱（叠高，成高 $\frac{4}{a}$ 的三棱柱）：$S_3=2\times 6a^2+12a\times \frac{4}{a}=12a^2+48$。
2. 四棱柱三种：沿 $5a$ 斜面拼成长方体 $S_4=24a^2+28$；沿 $4a$ 面 $24a^2+32$；沿 $3a$ 面 $24a^2+36$。
3. 最小者 $24a^2+28$，由 $24a^2+28<12a^2+48$ 得 $a^2<\frac{5}{3}$，即 $0<a<\sqrt{\frac{5}{3}}$。

✅【答案】

Success

$0<a<\sqrt{\frac{5}{3}}$

✍【详细解析】

Abstract

底面直角三角形面积为 $\frac{1}{2}\cdot 3a\cdot 4a=6a^2$，底面周长 $12a$． 拼成三棱柱只有叠高一种：高变为 $\frac{4}{a}$，表面积 $S_3=2\times 6a^2+12a\times \frac{4}{a}=12a^2+48$． 拼成四棱柱有三种：沿 $5a$ 斜面拼合成长方体（底 $3a\times 4a$，高 $\frac{2}{a}$），表面积 $S_4=2\times 12a^2+2\times (3a+4a)\times \frac{2}{a}=24a^2+28$；沿 $4a$ 侧面拼合，表面积 $24a^2+32$；沿 $3a$ 侧面拼合，表面积 $24a^2+36$． 所有情形中全面积最小的是 $24a^2+28$（四棱柱），依题意 $24a^2+28<12a^2+48$，解得 $a^2<\frac{5}{3}$． 故 $a$ 的取值范围是 $0<a<\sqrt{\frac{5}{3}}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：棱柱拼接与表面积

核心方法：枚举全部拼法算表面积：三棱柱（叠高）$12a^2+48$，四棱柱最小 $24a^2+28$，由”四棱柱最小”解不等式

避坑指南：沿斜面拼成长方体 $24a^2+28$ 最小易漏；三棱柱只有叠高一种拼法，勿凭空多设

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：立体几何拼接问题考查空间想象与全面积计算（理 12 同题）

结论推广：两全等直三棱柱拼法共四类，表面积沿斜面拼最小

方法推广：枚举法：列出所有拼法的表面积表达式再比较

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2020-新课标I文-12 单-球表面积
• 2005-全国卷I理-12 单-异面直线的定义与判定