2005-上海卷文-11 填-图象交点与分段函数

本题导读

本题考查含绝对值的三角函数图象与直线交点个数的讨论。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 函数 $f(x)=\sin x+2\left|\sin x\right|$，$x\in [0,2\pi ]$ 的图象与直线 $y=k$ 有且仅有两个不同的交点，则 $k$ 的取值范围是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $x\in [0,\pi ]$ 时 $f=3\sin x$（峰 $3$）；$x\in [\pi ,2\pi ]$ 时 $f=-\sin x$（峰 $1$）。
2. 数交点：$k\in (1,3)$ 时恰 $2$ 个；$k=1,3$ 及 $k⩽1$、$k>3$ 均不合。

✅【答案】

Success

$1<k<3$

✍【详细解析】

Abstract

$x\in [0,\pi ]$ 时 $f(x)=3\sin x$，图象从 $0$ 升到 $3$ 再回到 $0$；$x\in [\pi ,2\pi ]$ 时 $f(x)=-\sin x$，从 $0$ 升到 $1$（$x=\frac{3\pi }{2}$）再回到 $0$． 逐段数交点：当 $1<k<3$ 时，第一段有 $2$ 个交点、第二段无交点，共 $2$ 个；当 $k=1$ 时第一段 $2$ 个、第二段 $1$ 个，共 $3$ 个（不合）；当 $k=3$ 时仅 $1$ 个；$k<1$ 时至少 $3$ 个；$k>3$ 时 $0$ 个． 故 $k$ 的取值范围是 $1<k<3$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：图象交点与分段函数

核心方法：分段化简 $f(x)=3\sin x$ 与 $-\sin x$，画图数交点

避坑指南：$x=\pi$ 处两段衔接 $f(\pi )=0$；$k=1,3$ 时交点数变化，端点须单独检验

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含绝对值三角函数的图象变换源自教材图象变换节

结论推广：$\sin x+2|\sin x|$ 上半波放大 $3$ 倍、下半波翻折放大 $1$ 倍

方法推广：数形结合数交点：参数 $k$ 的临界值逐一检验

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练 (Links)

• 2010-全国卷理-11 单-均值不等式
• 2004-全国卷III理-11 单-分段函数的不等式求解