2004-全国卷III理-11 单-分段函数的不等式求解

本题导读

本题考查分段函数的不等式求解，以及一元二次不等式。

📌【题干】

Question

（2004年全国卷III(理)） 设函数 $f(x)=\{\begin{array}{l}(x+1{)}^2,x<1\\ 4-\sqrt{x-1},x⩾1\end{array}$，则使得 $f(x)⩾1$ 的自变量 $x$ 的取值范围为 ()

A. $(-\infty ,-2]\cup [0,10]$　　　　　　　　　　　　B. $(-\infty ,-2]\cup [0,1]$

C. $(-\infty ,-2]\cup [1,10]$　　　　　　　　　　　　D. $[-2,0]\cup [1,10]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：解第一段不等式组 当 $x<1$ 时， $f(x)=(x+1{)}^2$。此时不等式转化为 $\{\begin{array}{l}x<1\\ (x+1{)}^2⩾1\end{array}$，求解并找出交集。
2. 第二步：解第二段不等式组 当 $x⩾1$ 时， $f(x)=4-\sqrt{x-1}$。此时不等式转化为 $\{\begin{array}{l}x⩾1\\ 4-\sqrt{x-1}⩾1\end{array}$，注意根式的自然定义域限制，求解并找出交集。
3. 第三步：合并解集 将第一步和第二步求得的两个有效解集区间进行并集（$\cup$）合并，得出最终答案。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

根据分段函数的定义，求解不等式 $f(x)⩾1$ 需要分以下两种情况讨论：

• 情况一：当 $x<1$ 时 $f(x)=(x+1{)}^2⩾1$ 展开或直接开平方得： $x+1⩾1\text{或}x+1⩽-1$ 解得： $x⩾0\text{或}x⩽-2$ 由于前提条件是 $x<1$，将此范围与前提条件取交集： $\{\begin{array}{l}x<1\\ x⩾0\text{ 或 }x⩽-2\end{array}⟹x\in (-\infty ,-2]\cup [0,1)$

• 情况二：当 $x⩾1$ 时 $f(x)=4-\sqrt{x-1}⩾1$ 移项整理得： $\sqrt{x-1}⩽3$ 两边平方得： $x-1⩽9⟹x⩽10$ 由于前提条件是 $x⩾1$（此时根式自带的被开方数非负限制 $x-1⩾0$ 已被自然包含），将此范围与前提条件取交集： $\{\begin{array}{l}x⩾1\\ x⩽10\end{array}⟹x\in [1,10]$

最后，将情况一与情况二所得的解集取并集： $\left((-\infty ,-2]\cup [0,1)\right)\cup [1,10]$ 注意到中间的区间 $[0,1)$ 与 $[1,10]$ 在边界点 $1$ 处可以无缝首尾相接，合并后为 $[0,10]$。 所以，使得 $f(x)⩾1$ 的自变量 $x$ 的取值范围为： $(-\infty ,-2]\cup [0,10]$

对照选项，正确答案为 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分段函数“分段解决、最后并拢”的核心解法、一元二次不等式与根式不等式的标准解法。
2. 核心方法：分类讨论法。
3. 避坑指南：
   • 绝对不能漏掉各段的前提条件约束。例如在第一段中算出 $x⩾0$ 时，必须与 $x<1$ 取交集得到 $[0,1)$；若直接拿去和第二段合并，可能会产生逻辑混乱或错选。
   • 注意边界点 $x=1$ 的交接。情况一中由于前提条件不含等号，算出的是开区间 $[0,1)$；而情况二中前提包含等号，算出的是闭区间 $[1,10]$。两者取并集时，点 $1$ 被成功补齐，从而融合成连续闭区间 $[0,10]$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典初等函数性质与分段讨论结合的必考题型。
2. 结论推广: 求解任何分段函数不等式 $f(x)⩾k$（或 $⩽k$），其标准算法图形永远是： ${\bigcup }_i\left\{x\in D_i\mid f_i(x)⩾k\right\}$，其中 $D_i$ 为第 $i$ 段的定义域， $f_i(x)$ 为对应的表达式。各段在自身边界内独立运算，互不干扰，最后用并集一网打尽。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件
• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 1988-广东文-19 单-不等式的同解变形