2005-上海卷文-04 填-向量数量积与轨迹

本题导读

本题考查平面向量数量积的坐标运算与轨迹方程。

📌【题干】

Question

（2005年上海卷(文)） 直角坐标平面 $xOy$ 中，若定点 $A(1,2)$ 与动点 $P(x,y)$ 满足 $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=4$，则点 $P$ 的轨迹方程是$\underline{}$．

🔍【思路分析】

破题导航

1. $\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=x+2y=4$。
2. 轨迹为直线 $x+2y-4=0$。

✅【答案】

Success

$x+2y-4=0$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\overrightarrow{OP}=(x,y)$，$\overrightarrow{OA}=(1,2)$，数量积的坐标运算得 $x+2y=4$． 故点 $P$ 的轨迹方程为 $x+2y-4=0$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：向量数量积与轨迹

核心方法：坐标化：$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=x+2y=4$ 直接得直线方程

避坑指南：数量积的坐标运算 $\overrightarrow{OA}=(1,2)$ 与动点 $\overrightarrow{OP}=(x,y)$ 对应清楚，勿把 4 当作模长

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：数量积的坐标表达使几何轨迹代数化，教材平面向量章

结论推广：$\overrightarrow{OP}\cdot \overrightarrow{OA}=c$（$A$ 定点）恒为垂直于 $\overrightarrow{OA}$ 的直线

方法推广：向量式约束坐标化是轨迹问题的通法

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算

类题演练 (Links)

• 2014-大纲卷理-04 单-向量数量积
• 2020-新课标II文-05 单-向量垂直