2004-重庆理-18 解-离散型随机变量的分布列

本题导读

本题考查离散型随机变量的分布列。核心在于概率建模法、对立事件法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 设一汽车在前进途中要经过 4 个路口，汽车在每个路口遇到绿灯的概率为 $\frac{3}{4}$，遇到红灯（禁止通行）的概率为 $\frac{1}{4}$.假定汽车只有在遇到红灯或到达目的地才停止前进， $\xi$ 表示停车时已经通过的路口数，求：

(1) $\xi$ 的概率的分步列及期望 $E\xi$；

(2)停车时最多已通过 3 个路口的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 界定随机变量 $\xi$ 的可能取值：
   • 在第 1 个路口遇到红灯停止，通过 0 个路口，即 $\xi =0$．
   • 在第 1 个路口遇到绿灯、第 2 个路口遇到红灯停止，通过 1 个路口，即 $\xi =1$．
   • 在前 2 个路口遇到绿灯、第 3 个路口遇到红灯停止，通过 2 个路口，即 $\xi =2$．
   • 在前 3 个路口遇到绿灯、第 4 个路口遇到红灯停止，通过 3 个路口，即 $\xi =3$．
   • 在前 4 个路口均遇到绿灯顺利通过，到达目的地停止，通过 4 个路口，即 $\xi =4$．
2. 利用独立乘法通式控算概率：由于各路口信号灯互不影响，属于相互独立事件。前 $k$ 次通过（绿灯）且第 $k+1$ 次停止（红灯）的概率为 ${\left(\frac{3}{4}\right)}^k\times \frac{1}{4}$．需要特别注意的是 $\xi =4$ 的情况，此时汽车不需要在第 5 个路口遇到红灯，只要前 4 个路口全为绿灯即可。
3. 期望求解与对立事件转化：
   • 第一问期望直接套用公式 $E\xi =\sum x_i{P}_i$ 进行代数级数求和。
   • 第二问“最多已通过 3 个路口”对应的事件是 $\xi \le 3$，其对立事件为 $\xi =4$，利用 $1-P(\xi =4)$ 可实现快速控算。

✅【答案】

Success

(1) $E(\xi )=\frac{81}{64}$

(2) $\frac{175}{256}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）求 $\xi$ 的概率的分布列及期望 $E\xi$ 随机变量 $\xi$ 的所有可能取值为 $0,1,2,3,4$．

结合相互独立事件的概率乘法公式，分别计算 $\xi$ 取各值时的概率：

• 当 $\xi =0$ 时，表示汽车在第 1 个路口即遇到红灯而停车： $P(\xi =0)=\frac{1}{4}$
• 当 $\xi =1$ 时，表示汽车通过了第 1 个路口（绿灯），在第 2 个路口遇到红灯而停车： $P(\xi =1)=\frac{3}{4}\times \frac{1}{4}=\frac{3}{16}$
• 当 $\xi =2$ 时，表示汽车通过了前 2 个路口（均为绿灯），在第 3 个路口遇到红灯而停车： $P(\xi =2)={\left(\frac{3}{4}\right)}^2\times \frac{1}{4}=\frac{9}{16}\times \frac{1}{4}=\frac{9}{64}$
• 当 $\xi =3$ 时，表示汽车通过了前 3 个路口（均为绿灯），在第 4 个路口遇到红灯而停车： $P(\xi =3)={\left(\frac{3}{4}\right)}^3\times \frac{1}{4}=\frac{27}{64}\times \frac{1}{4}=\frac{27}{256}$
• 当 $\xi =4$ 时，表示汽车通过了全部 4 个路口（均为绿灯），顺利到达目的地而停车： $P(\xi =4)={\left(\frac{3}{4}\right)}^4=\frac{81}{256}$

(自我核验： $\sum P=\frac{64}{256}+\frac{48}{256}+\frac{36}{256}+\frac{27}{256}+\frac{81}{256}=\frac{256}{256}=1$，概率空间完整)．

故 $\xi$ 的概率分布列为：

$\xi$	0	1	2	3	4
$P$	$\frac{1}{4}$	$\frac{3}{16}$	$\frac{9}{64}$	$\frac{27}{256}$	$\frac{81}{256}$

根据离散型随机变量数学期望的定义公式 $E\xi ={\sum }_{i=0}^4{x}_{i}P(\xi =x_i)$： $E\xi =0\times \frac{1}{4}+1\times \frac{3}{16}+2\times \frac{9}{64}+3\times \frac{27}{256}+4\times \frac{81}{256}$ 统一分母为 256 进行代数累加： $E\xi =\frac{0+48+72+81+324}{256}$ $E\xi =\frac{525}{256}$

（2）求停车时最多已通过 3 个路口的概率 “最多已通过 3 个路口”对应的数学叙述为 $\xi \le 3$． 该事件的对立事件为“通过 4 个路口”，即 $\xi =4$． 根据对立事件概率性质： $P(\xi \le 3)=1-P(\xi =4)$ 代入（1）中求得的概率值： $P(\xi \le 3)=1-\frac{81}{256}=\frac{175}{256}$

答：停车时最多已通过 3 个路口的概率为 $\frac{175}{256}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：多阶段独立重复试验的概率截断建模；离散分布列中各项概率加和恒为 1 的度量校验；数学期望乘积和公式的应用；至多型有界概率向对立事件的等价转化。
2. 核心方法：独立事件乘法原理、对立事件简化法。
3. 避坑指南：
   • 错把 $\xi =4$ 的概率多乘一个红灯分量：这是最经典的笔误。很多学生习惯了前面的递推节奏，把 $P(\xi =4)$ 错写成 ${\left(\frac{3}{4}\right)}^4\times \frac{1}{4}$．务必牢记汽车一共只需要面对 4 个路口，一旦第 4 个路口也是绿灯，汽车已经安全抵达目的地，前方不再有第 5 个路口阻截。
   • 第二问采用直接加和导致计算量过大出错：第二问若直接用 $P(0)+P(1)+P(2)+P(3)$ 进行通分，由于涉及四个大分式，极易产生算术笔误。看到“最多”、“至少”等字眼，必须优先建立对立事件条件反射。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查初等概率与随机过程（几何分布在有限维空间的截断形态）的标准大纲经典解答题，属于中等难度常规题。
2. 结论推广：本题模型属于通用的离散马尔可夫链吸收态终止模型（Discrete-time Markov chain with an absorbing state）．一般地，对于包含 $n$ 个阶梯阶段的独立测试，每次成功的概率为 $p$，失败的概率为 $q=1-p$，一旦失败即立刻强制终止。其终止时已通过的阶段数 $\xi$ 的数学期望，在空间上构成了有界几何级数。其通用代数解析通式恒满足： $E\xi =\frac{p(1-p^n)}{1-p}$．

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征
• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-16 解-分布列与数学期望
• 2012-新课标Ⅰ(理)-18 解-离散型随机变量
• 2012-湖南卷(理)-17 解-分布列