2004-重庆理-14 填-曲线交点

本题导读

本题考查曲线交点的求解，以及导数的几何意义。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(理)） 曲线 $y=2-\frac{1}{2}{x}^2$ 与 $y=\frac{1}{4}{x}^3-2$ 在交点处切线的夹角是 $\underline{}$. (用弧度数作答)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 联立方程组求解交点：令 $2-\frac{1}{2}{x}^2=\frac{1}{4}{x}^3-2$，化简为关于 $x$ 的一元三次方程并求出其实数根，进而锁定唯一的交点横坐标。
2. 利用导数计算切线斜率：分别对两个函数求导，将交点的横坐标代入各自的导函数中，算得两条切线的斜率 $k_1$ 和 $k_2$。
3. 套用直线夹角公式求角：由两条直线的夹角公式 $\tan \alpha =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|$（夹角 $\alpha \in [0,\frac{\pi }{2}]$）计算正切值，再转化为对应的弧度数。

✅【答案】

Success

$\frac{\pi }{4}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求解两曲线的交点坐标 联立两曲线方程，消去 $y$： $2-\frac{1}{2}{x}^2=\frac{1}{4}{x}^3-2$ 方程两边同时乘以 4 以消去分母： $8-2x^2=x^3-8$ 移项化为标准一元三次方程： $x^3+2x^2-16=0$

对左端多项式尝试有理根检验，发现当 $x=2$ 时： $2^3+2\times 2^2-16=8+8-16=0$ 说明 $x=2$ 是该方程的一个实数根。通过综合除法或因式分解可得： $(x-2)(x^2+4x+8)=0$ 对于二次因式 $x^2+4x+8=0$，其判别式 $\Delta =4^2-4\times 1\times 8=16-32=-16<0$，无实数根。 因此，两曲线在实数域内有且仅有一个交点，其横坐标为： $x=2$

第二步：计算交点处的切线斜率 设第一个函数为 $f(x)=2-\frac{1}{2}{x}^2$，其导函数为： $f^{\prime }(x)=-x$ 则在该交点 $x=2$ 处的切线斜率 $k_1$ 为： $k_1=f^{\prime }(2)=-2$

设第二个函数为 $g(x)=\frac{1}{4}{x}^3-2$，其导函数为： $g^{\prime }(x)=\frac{3}{4}{x}^2$ 则在该交点 $x=2$ 处的切线斜率 $k_2$ 为： $k_2=g^{\prime }(2)=\frac{3}{4}\times 2^2=3$

第三步：计算两条切线的夹角 设两条切线构成的夹角为 $\alpha$。根据平面解析几何中两条直线的夹角公式： $\tan \alpha =\left|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}\right|$

代入斜率值 $k_1=-2,k_2=3$ 进项控算： $\tan \alpha =\left|\frac{-2-3}{1+(-2)\times 3}\right|=\left|\frac{-5}{1-6}\right|=\left|\frac{-5}{-5}\right|=1$

因为两直线夹角的取值范围严格限定在 $\alpha \in \left[0,\frac{\pi }{2}\right]$ 内，且 $\tan \alpha =1$， 结合特殊角三角函数值，可求得夹角的弧度数为： $\alpha =\frac{\pi }{4}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：高次代数方程的因式分解求解；导数几何意义在切线斜率中的映射；直线夹角公式 $\tan \alpha =|\frac{k_1-k_2}{1+k_1{k}_2}|$ 的准确应用。
2. 核心方法：导数分析法、夹角通式控算法。
3. 避坑指南：
   • 混淆“到角公式”与“夹角公式”：注意本题要求的是两直线的“夹角”，夹角是不分顺序的锐角或直角，公式分子和整体必须加绝对值符号。若错套成到角公式（不加绝对值），计算出 $\tan \alpha =-1$，就会偏离正确的视角。
   • 未按题目要求使用弧度制：题目明确提示“用弧度数作答”，若因习惯写成角度制 $45^{\circ }$，在大纲阅卷中将被直接判为错误，务必严格核对量纲。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是考查微分几何与平面解析几何交叉融合的经典大纲填空题，属于中等难度常规题。
2. 结论推广: 两曲线在交点处的夹角等于该点两切线（斜率分别为 $f^{\prime }(x_0)$、$g^{\prime }(x_0)$）的夹角，用两直线夹角公式求。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义
• 16.06 到角公式与夹角公式

类题演练 (Links)

• 2006-湖南文-19 解-三次函数单调与水平切线
• 2006-重庆文-19 解-导数切线与单调性
• 2009-福建卷文-15 填-导数切线存在