2004-重庆文-18 解-独立重复试验概率

本题导读

本题考查相互独立事件与独立重复试验的概率。核心在于用对立事件求”至少”，用二项式公式求”恰好”。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 设甲、乙、丙三人每次射击命中目标的概率分别为 $0.7$、$0.6$ 和 $0.5$.

(1) 三人各向目标射击一次，求至少有一人命中目标的概率及恰有两人命中目标的概率；

(2) 若甲单独向目标射击三次，求他恰好命中两次的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 三人都不命中概率 $0.3\times 0.4\times 0.5=0.06$。
2. 至少一人命中 $=1-0.06=0.94$；恰两人命中 $=0.7\cdot 0.6\cdot 0.5+0.7\cdot 0.4\cdot 0.5+0.3\cdot 0.6\cdot 0.5=0.44$。
3. 甲三次恰中两次 ${\mathrm{C}}_3^2(0.7{)}^2(0.3)=0.441$。

✅【答案】

Success

(1) 至少一人命中 $0.94$，恰有两人命中 $0.44$

(2) $0.441$

✍【详细解析】

Abstract

（1）三人都没有命中的概率为 $(1-0.7)(1-0.6)(1-0.5)=0.3\times 0.4\times 0.5=0.06$，所以至少有一人命中的概率为 $1-0.06=0.94$.恰有两人命中的概率为 $0.7\times 0.6\times 0.5+0.7\times 0.4\times 0.5+0.3\times 0.6\times 0.5=0.21+0.14+0.09=0.44$. （2）甲每次命中概率 $0.7$，未命中概率 $0.3$，三次射击中恰好命中两次的概率为 ${\mathrm{C}}_3^2(0.7{)}^2(0.3)=3\times 0.49\times 0.3=0.441$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立重复试验概率
2. 核心方法：（1）至少一人命中 $1-0.3\times 0.4\times 0.5=0.94$，恰两人命中 $0.7\cdot 0.6\cdot 0.5+0.7\cdot 0.4\cdot 0.5+0.3\cdot 0.6\cdot 0.5=0.44$；（2）${\mathrm{C}}_3^2(0.7{)}^2(0.3)=0.441$
3. 避坑指南：“至少一个”用对立事件；恰两人命中分三种配对相加；独立重复试验用二项式公式 ${\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于独立重复试验，教材”概率”
2. 结论推广: 一般化：$n$ 次独立重复恰 $k$ 次命中 $={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$；对立事件求”至少”，二项式公式求”恰好”

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练 (Links)

• 2004-湖南文-19 解-独立事件概率
• 2004-湖北文-21 解-独立事件概率最值
• 2005-北京卷文-18 解-独立重复试验概率