2004-重庆文-13 填-二项式系数求参

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式，以及由指定项系数反求参数。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 若在 $(1+ax{)}^5$ 的展开式中 $x^3$ 的系数为 $-80$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项 ${\mathrm{C}}_5^r(ax{)}^r$，$x^3$ 项取 $r=3$。
2. 系数 ${\mathrm{C}}_5^3{a}^3=10a^3=-80$。
3. $a^3=-8$，$a=-2$。

✅【答案】

Success

$-2$

✍【详细解析】

Abstract

由二项式定理，$(1+ax{)}^5$ 的展开式中 $x^3$ 项来自取三次 $ax$ 和两次 $1$，其系数为 ${\mathrm{C}}_5^3{a}^3=10a^3$.由题意 $10a^3=-80$，即 $a^3=-8$，故 $a=-2$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式系数求参
2. 核心方法：通项 ${\mathrm{C}}_5^r(ax{)}^r$，$x^3$ 系数 ${\mathrm{C}}_5^3{a}^3=10a^3=-80$，$a^3=-8$，$a=-2$
3. 避坑指南：${\mathrm{C}}_5^3=10$；$-80÷10=-8=(-2{)}^3$，注意 $a$ 是负号

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二项式定理，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：${\mathrm{C}}_n^r(ax{)}^r$ 的系数为 ${\mathrm{C}}_n^r{a}^r$；通项定指数，由系数方程求参数

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2004-湖北文-14 填-二项式定理
• 2004-全国卷II文-13 填-二项式系数求参
• 2005-山东卷文-06 单-二项式指定项系数