2004-重庆文-09 单-等差数列前n项和

本题导读

本题考查等差数列的性质与前 $n$ 项和的正负判定。

📌【题干】

Question

（2004年重庆卷(文)） 若数列 $\{a_n\}$ 是等差数列，首项 $a_1>0$，$a_{2003}+a_{2004}>0$，$a_{2003}\cdot a_{2004}<0$，则使前 $n$ 项和 $S_n>0$ 成立的最大自然数 $n$ 是()

A. $4005$　　　　　B. $4006$　　　　　C. $4007$　　　　　D. $4008$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 若 $a_{2003}<0<a_{2004}$，则 $d>0$，$a_1=a_{2003}-2002d<0$，矛盾，故 $a_{2003}>0>a_{2004}$。
2. 设 $a_{2003}=u>0$，$a_{2004}=-v<0$，$u>v>0$。
3. $S_n>0⟺a_1+a_n>0$，得 $n-1<4004+\frac{2u}{u+v}\in (4005,4006)$，最大 $n=4006$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

若 $a_{2003}<0<a_{2004}$，则公差 $d=a_{2004}-a_{2003}>0$，从而 $a_1=a_{2003}-2002d<0$，与 $a_1>0$ 矛盾，故 $a_{2003}>0>a_{2004}$.结合 $a_{2003}+a_{2004}>0$，设 $a_{2003}=u>0$，$a_{2004}=-v<0$，则 $u>v>0$，公差 $d=-(u+v)$，$a_1=a_{2003}-2002d=2003u+2002v$.由 $S_n=\frac{n}{2}(a_1+a_n)$ 且 $n>0$，$S_n>0⟺a_1+a_n>0⟺2a_1+(n-1)d>0$，代入得 $n-1<\frac{2(2003u+2002v)}{u+v}=4004+\frac{2u}{u+v}$.因 $u>v>0$，$\frac{1}{2}<\frac{u}{u+v}<1$，故 $4005<\frac{2(2003u+2002v)}{u+v}<4006$，满足条件的最大整数 $n-1=4005$，即 $n$ 的最大值为 $4006$，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列前n项和
2. 核心方法：$a_{2003}>0>a_{2004}$ 且 $a_{2003}+a_{2004}>0$，设 $a_{2003}=u,-a_{2004}=v$（$u>v>0$），得 $n-1<4004+\frac{2u}{u+v}\in (4005,4006)$，最大 $n=4006$
3. 避坑指南：由 $a_1>0$ 且 $a_{2003}{a}_{2004}<0$ 先排除 $a_{2003}<0$ 的情形；$S_n>0⟺a_1+a_n>0$，勿把 $n$ 与 $n-1$ 混淆

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于等差数列前 n 项和，教材”数列”
2. 结论推广: 一般化：$S_n>0⟺a_1+a_n>0$，用下标和性质转化；由 $a_1>0$ 与乘积为负定正负，$S_n$ 正负转化

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2004-福建文-05 单-等差数列前n项和比
• 2005-全国卷II文-07 单-等差数列下标和性质
• 2006-全国卷I文-05 单-等差数列中项求和