2005-全国卷II文-07 单-等差数列下标和性质

本题导读

本题考查等差数列的性质与等差中项。

📌【题干】

Question

（2005年全国卷II(文)）如果数列 ${a_{n}}$ 是等差数列，则()

A. $a_{1} + a_{8} < a_{4} + a_{5}$ 　B. $a_{1} + a_{8} = a_{4} + a_{5}$ 　C. $a_{1} + a_{8} > a_{4} + a_{5}$ 　D. $a_{1} a_{8} = a_{4} a_{5}$

🔍【思路分析】

破题导航

设等差数列首项 $a_{1}$ 、公差 $d$ ，则 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ 。

$a_{1} + a_{8} = 2 a_{1} + 7 d$ ， $a_{4} + a_{5} = (a_{1} + 3 d) + (a_{1} + 4 d) = 2 a_{1} + 7 d$ 。

两式相等，故选 B

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设等差数列首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ ，则 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ ．故 $a_{1} + a_{8} = 2 a_{1} + 7 d$ ，且 $a_{4} + a_{5} = (a_{1} + 3 d) + (a_{1} + 4 d) = 2 a_{1} + 7 d$ ．所以 $a_{1} + a_{8} = a_{4} + a_{5}$ （下标和 $1 + 8 = 4 + 5$ 相等）．故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列下标和性质

核心方法：等差数列中 $a_{1} + a_{8} = a_{4} + a_{5}$ （下标和 $1 + 8 = 4 + 5$ ）恒成立

避坑指南：等差中项下标和相等则项和相等： $a_{1} + a_{8} = 2 a_{1} + 7 d = a_{4} + a_{5}$ ；别误判为不等或乘积相等

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差中项下标和性质是选择题常客

结论推广： $m + n = p + q \Rightarrow a_{m} + a_{n} = a_{p} + a_{q}$

方法推广：把 $a_{1} + a_{8}$ 与 $a_{4} + a_{5}$ 都写成 $2 a_{1} + 7 d$ 对比

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

07.01 弧度制与扇形度量

类题演练 (Links)

2009-大纲Ⅱ文-17 解-等差数列求和

2009-新课标Ⅰ文-08 单-等差数列中项求和

2010-大纲Ⅱ文-06 单-等差数列中项求和

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2005-全国卷II文-07 单-等差数列下标和性质

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