2004-辽宁卷-18 解-绝对值不等式的解法

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。核心在于分类讨论法、辅助角公式化简法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年辽宁卷） 设全集 $U=\mathbf{R}$.

(1) 解关于 $x$ 的不等式 $|x-1|+a-1>0(a\in \mathbf{R})$；

(2) 记 $A$ 为 (1) 中不等式的解集，集合 $B=\left\{x|\sin \left(\pi x-\frac{\pi }{3}\right)+\sqrt{3}\cos \left(\pi x-\frac{\pi }{3}\right)=0\right\}$，若 $({\complement }_{U}A)\cap B$ 恰有 3 个元素，求 $a$ 的取值范围.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（第(1)问不等式分类讨论）：
   • 将不等式移项变形为 $|x-1|>1-a$。
   • 绝对值项 $|x-1|\ge 0$ 恒成立。因此需对非数项 $1-a$ 的正负进行分类讨论：
     • 若 $1-a<0⟹a>1$，则绝对值大于一个负数恒成立，解集为 $\mathbf{R}$。
     • 若 $1-a\ge 0⟹a\le 1$，则脱去绝对值号转化为常规双向不等式 $x-1>1-a$ 或 $x-1<-(1-a)$。
2. 第二步逻辑（化简集合 $B$ 的三角方程）：
   • 提取公因式 2，应用辅助角公式将 $\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta$ 合并为 $2\sin \left(\theta +\frac{\pi }{3}\right)$。
   • 令正弦值归零，解出 $\pi x$ 的通解序列，从而得到集合 $B$ 的显式点集表达式。
3. 第三步逻辑（第(2)问元素计数控制）：
   • 写出补集 ${\complement }_{U}A$ 的有界区间形式。
   • 将集合 $B$ 中的离散元素顺次标定在实数轴上。通过“区间内恰好包含 3 个离散点”的几何边界，列出关于参数 $a$ 的一元一次不等式组，求解输出最终范围。

✅【答案】

Success

(1) 当 $a>1$ 时 $x\in \mathbf{R}$；当 $a\le 1$ 时 $x>2-a$ 或 $x<a$

(2) $a\in \left(-1,0\right]$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解关于 $x$ 的不等式 $|x-1|+a-1>0$ 将原不等式进行移项，隔离绝对值项： $|x-1|>1-a\text{（式1）}$ 根据右侧常数项的取值范围，分以下两种情况讨论：

• 情况一：当 $1-a<0$ 即 $a>1$ 时。 由于对于任意实数 $x$，绝对值恒等性质恒满足 $|x-1|\ge 0$。 此时（式1）左侧非负，右侧严格为负，不等式显然恒成立。 故此时不等式的解集为： $\mathbf{R}$。

• 情况二：当 $1-a\ge 0$ 即 $a\le 1$ 时。 根据绝对值不等式的去绝对值法则，（式1）等价消元为对偶不等式组： $x-1>1-a\text{或}x-1<-(1-a)\text{（式2）}$ 对（式2）两端分别移项化简： $x>2-a\text{或}x<a\text{（式3）}$ 故此时不等式的解集为： $\{x|x>2-a\text{ 或 }x<a\}$。

综上所述： 当 $a>1$ 时，解集为 $\mathbf{R}$； 当 $a\le 1$ 时，解集为 $\{x|x>2-a\text{ 或 }x<a\}$。

(2) 求 $a$ 的取值范围

• 第一步：化简集合 $B$ 对集合 $B$ 内的控制三角方程左侧应用辅助角公式进行叠加变形： $\sin \left(\pi x-\frac{\pi }{3}\right)+\sqrt{3}\cos \left(\pi x-\frac{\pi }{3}\right)=2\left[\frac{1}{2}\sin \left(\pi x-\frac{\pi }{3}\right)+\frac{\sqrt{3}}{2}\cos \left(\pi x-\frac{\pi }{3}\right)\right]\text{（式4）}$ 代入标准余弦与正弦特殊角值： $\cos \frac{\pi }{3}=\frac{1}{2},\sin \frac{\pi }{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，（式4）化简为： $2\left[\sin \left(\pi x-\frac{\pi }{3}\right)\cos \frac{\pi }{3}+\cos \left(\pi x-\frac{\pi }{3}\right)\sin \frac{\pi }{3}\right]=2\sin \left[\left(\pi x-\frac{\pi }{3}\right)+\frac{\pi }{3}\right]=2\sin (\pi x)\text{（式5）}$

  令方程（式5）严格归零： $2\sin (\pi x)=0⟹\sin (\pi x)=0\text{（式6）}$ 根据正弦函数的零点分布通解公式： $\pi x=k\pi ⟹x=k(k\in \mathbf{Z})\text{（式7）}$ 由此可确定集合 $B$ 的本质为整数点集： $B=\mathbf{Z}\text{（式8）}$

• 第二步：确定补集 ${\complement }_{U}A$ 的区间 若 $a>1$，由第(1)问可知解集 $A=\mathbf{R}$，则其补集 ${\complement }_{U}A=\varnothing$。 此时 $({\complement }_{U}A)\cap B=\varnothing \cap \mathbf{Z}=\varnothing$，元素个数为 0，不满足“恰有 3 个元素”的条件。 因此，必须满足刚性前提约束： $a\le 1\text{（式9）}$

  在 $a\le 1$ 的条件下，将解集 $A=\{x|x>2-a\text{ 或 }x<a\}$ 代入全集 $\mathbf{R}$ 取补集： ${\complement }_{U}A=[a,2-a]\text{（式10）}$

• 第三步：精细化元素计数卡位 由（式8）与（式10）可知，目标交集 $({\complement }_{U}A)\cap B$ 的代数实质即为：闭区间 $[a,2-a]$ 内部所包含的整数点数。

  关注到闭区间 $[a,2-a]$ 的中点恒等性质特征： $\text{中点 }{x}_0=\frac{a+(2-a)}{2}=\frac{2}{2}=1\text{（式11）}$ 且区间的总几何长度为： $\Delta L=(2-a)-a=2-2a\text{（式12）}$

  因为区间关于恒定整数点 $x=1$ 严格对称，要在其内部“恰好捕获 3 个整数”，由数轴上的离散分布可知，这 3 个整数必须且只能是： $\text{目标整数集}=\{0,1,2\}\text{（式13）}$

  为了保证整数 0 和 2 被完整包裹在闭区间内，同时紧邻的整数 $-1$ 和 3 被严格排斥在外，区间的左、右边界端点必须协同满足以下双向几何卡位不等式组： $\{\begin{array}{l}-1<a\le 0\\ 2\le 2-a<3\end{array}\text{（式14）}$

  解第一个不等式得： $-1<a\le 0$。 解第二个不等式：两边同减 2 得 $0\le -a<1$，取反转方向得 $-1<a\le 0$。 两式取交集，其完整代数封闭解为： $-1<a\le 0\text{（式15）}$ 由于（式15）完全包含在前提约束条件 $a\le 1$（式9）内部，故其即为最终要求的精确取值范围。

答： $a$ 的取值范围是 $(-1,0]$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式方向改变引起的解集退化分类讨论；辅助角公式 $\sin \theta +\sqrt{3}\cos \theta =2\sin (\theta +60^{\circ })$ 的精确运用；离散点集在线性对称闭区间内部的边界控制。
2. 核心方法：分类讨论法、数形结合卡位法、区间恒等性质分析法。
3. 避坑指南：
   • 第(2)问在处理区间端点闭合状态时，极其容易在‘ $\le$ ’与‘ $<$ ’的临界等号上产生逻辑混淆导致失分：很多学生能够看出区间内包含 0, 1, 2 三个整数，但在写边界时，分不清端点重合时的元素归属。请牢记闭区间元素卡位铁律：对于闭区间 $[a,b]$，当端点 $a$ 恰好等于目标整数 0 时（即 $a=0$），因为是闭区间，0 依然属于该区间，内部整数仍为 0, 1, 2（合法）；但当端点 $a$ 恰好等于边界排斥整数 $-1$ 时（即 $a=-1$）， $-1$ 就会被强行计入区间内部，导致整数变为 $-1,0,1,2$ 共有 4 个（违规）。因此，包含侧等号可取，排斥侧等号严禁取得。通过写下明晰的“左端点 $-1<a\le 0$”左开右闭式，可确保零失误。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出处为高中数学教材“集合、不等式与三角方程综合应用”章节的复习压轴大题。是高考考查分类讨论思想、数形结合素养以及精确逻辑控制能力最标准的典型高档综合拉分大题。
2. 结论推广: 解含绝对值的不等式，先根据绝对值的零点分区间讨论，去掉绝对值符号后解普通不等式，再合并各区间解集。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 01.01 集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 1989-全国文-01 单-集合的补集与交集
• 2006-四川文-01 单-集合交集运算
• 1955-全国-04 解-解三角方程cos2x