2004-福建文-17 解-向量积与三角变换

本题导读

本题考查平面向量的数量积与三角恒等变换。核心在于降幂化单角，再按平移公式比对系数求 $m$、$n$。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 设函数 $f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}$，其中向量 $\vec{a}=(2\cos x,1)$，$\vec{b}=(\cos x,\sqrt{3}\sin 2x)$，$x\in \mathbf{R}$.

(1) 若 $f(x)=1-\sqrt{3}$ 且 $x\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$，求 $x$；

(2) 若函数 $y=2\sin 2x$ 的图象按向量 $\vec{c}=(m,n)$（$|m|<\frac{\pi }{2}$）平移后得到函数 $y=f(x)$ 的图象，求实数 $m$、$n$ 的值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. $f(x)=2{\cos }^{2}x+\sqrt{3}\sin 2x=1+\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=1+2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$。
2. （1）$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$，$2x+\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}\right]$，只能取 $-\frac{\pi }{3}$，$x=-\frac{\pi }{4}$。
3. （2）平移后 $y=2\sin 2(x-m)+n$，比对得 $n=1$，$-2m=\frac{\pi }{6}$，$m=-\frac{\pi }{12}$。

✅【答案】

Success

(1) $x=-\frac{\pi }{4}$

(2) $m=-\frac{\pi }{12}$，$n=1$

✍【详细解析】

Abstract

由向量点积得 $f(x)=2{\cos }^{2}x+\sqrt{3}\sin 2x=1+\cos 2x+\sqrt{3}\sin 2x=1+2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$. （1）当 $f(x)=1-\sqrt{3}$ 时，$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$.因为 $x\in \left[-\frac{\pi }{3},\frac{\pi }{3}\right]$，所以 $2x+\frac{\pi }{6}\in \left[-\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}\right]$，在此范围内满足条件的角只有 $2x+\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}$，故 $x=-\frac{\pi }{4}$. （2）将 $y=2\sin 2x$ 按 $\vec{c}=(m,n)$ 平移后得到 $y=2\sin 2(x-m)+n$.与 $f(x)=1+2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$ 比较，得 $n=1$，且 $-2m=\frac{\pi }{6}$，即 $m=-\frac{\pi }{12}$（满足 $|m|<\frac{\pi }{2}$）．因而 $m=-\frac{\pi }{12}$，$n=1$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：向量积与三角变换
2. 核心方法：$f(x)=2{\cos }^{2}x+\sqrt{3}\sin 2x=1+2\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)$；（1）$\sin \left(2x+\frac{\pi }{6}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 在 $\left[-\frac{\pi }{2},\frac{5\pi }{6}\right]$ 内仅 $2x+\frac{\pi }{6}=-\frac{\pi }{3}$，$x=-\frac{\pi }{4}$；（2）平移后 $2\sin 2(x-m)+n$，比对得 $m=-\frac{\pi }{12}$，$n=1$
3. 避坑指南：降幂化单角一步到位；平移公式是”左加右减”体现在 $x-m$，比对时 $-2m=\frac{\pi }{6}$ 得 $m=-\frac{\pi }{12}$，符号勿反

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于平面向量数量积与三角恒等变换，教材”三角函数”
2. 结论推广: 一般化：$f(x)=\vec{a}\cdot \vec{b}$ 化为 $A\sin (\omega x+\phi )+k$；降幂与辅助角公式化单角；图象平移按 $\phi =x$ 方向系数对齐

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 10.01 两角和与差及辅助角公式

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷文-17 解-向量数量积构造函数求参数
• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值
• 2004-浙江文-14 填-向量数量积