2004-福建文-13 填-圆的弦长

本题导读

本题考查圆的方程，以及直线被圆截得的弦长。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 直线 $x+2y=0$ 被曲线 $x^2+y^2-6x-2y-15=0$ 所截得的弦长等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 配方 $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=25$，圆心 $(3,1)$，半径 $5$。
2. 圆心到直线距离 $d=\frac{|3+2|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$。
3. 弦长 $=2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$。

✅【答案】

Success

$4\sqrt{5}$

✍【详细解析】

Abstract

将圆的方程配方得 $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=25$，圆心为 $(3,1)$，半径为 $5$.圆心到直线 $x+2y=0$ 的距离为 $\frac{|3+2|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$.由勾股定理，半弦长为 $\sqrt{5^2-{\left(\sqrt{5}\right)}^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$，故弦长为 $4\sqrt{5}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：圆的弦长
2. 核心方法：配方 $(x-3{)}^2+(y-1{)}^2=25$，圆心 $(3,1)$ 到直线距离 $\frac{|3+2|}{\sqrt{5}}=\sqrt{5}$，弦长 $2\sqrt{25-5}=4\sqrt{5}$
3. 避坑指南：先配方定圆心半径；弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}$，勿把圆心距当成半弦长

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于圆的方程与弦长，教材”直线与圆”
2. 结论推广: 一般化：弦长 $=2\sqrt{r^2-d^2}$，$d$ 为圆心到直线距离；配方定圆心半径，点线距公式求 $d$，勾股求弦长

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2005-北京春文-06 单-直线截圆弦长
• 2010-四川卷文-14 填-直线与圆弦长
• 2009-陕西卷文-04 单-直线与圆弦长