2004-福建文-12 单-双曲线定义应用

本题导读

本题考查双曲线的定义，以及化归与最值思想。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 如图，$B$ 地在 $A$ 地的正东方向 $4$ km 处，$C$ 地在 $B$ 地的北偏东 $30^{\circ }$ 方向 $2$ km 处，河流的沿岸 $PQ$（曲线）上任意一点到 $A$ 的距离比到 $B$ 的距离远 $2$ km．现要在曲线 $PQ$ 上选一处 $M$ 建一座码头，向 $B$、$C$ 两地转运货物.经测算，从 $M$ 到 $B$、$C$ 两地修建公路的费用都是 $a$ 万元/km，那么修建这两条公路的总费用最低是()

A. $\left(\sqrt{7}+1\right)a$ 万元　B. $\left(2\sqrt{7}-2\right)a$ 万元　C. $2\sqrt{7}a$ 万元　D. $\left(\sqrt{7}-1\right)a$ 万元 （注：原卷扫描件此句印作”费用分别是 $a$ 万元/km、$2a$ 万元/km”，系与理科卷第 12 题题面混淆；按通行文科版本”费用都是 $a$ 万元/km”录入，详见解析.）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $MA-MB=2$，$M$ 在以 $A$、$B$ 为焦点、实轴长 $2$ 的双曲线右支上。
2. 总费用 $y=a(MB+MC)=a(MA+MC-2)⩾a(AC-2)$。
3. $AC=\sqrt{5^2+{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=2\sqrt{7}$，最低费用 $(2\sqrt{7}-2)a$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

以直线 $AB$ 为 $x$ 轴、$AB$ 中点为原点建系，则 $A(-2,0)$，$B(2,0)$，$C=(3,\sqrt{3})$.由 $MA-MB=2$ 知 $M$ 在以 $A$、$B$ 为焦点、实轴长 $2$ 的双曲线右支上，其方程为 $x^2-\frac{y^2}{3}=1$（$x⩾1$）．总费用 $y=a(MB+MC)=a(MA-2+MC)$.由三角形不等式，$MA+MC⩾AC$，其中 $AC=\sqrt{(3+2{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}=2\sqrt{7}$；且线段 $AC$ 与双曲线右支有交点（联立直线 $AC$ 与双曲线方程可得其存在），故当 $A$、$M$、$C$ 三点共线时等号成立，最低总费用为 $\left(2\sqrt{7}-2\right)a$ 万元，选 B （裁定：原卷扫描件印”费用分别是 $a$ 万元/km、$2a$ 万元/km”，与理科卷第 12 题题面相同；理科版四选项含 $5a$，答案为 $5a$。文科版各通行版本均作”费用都是 $a$ 万元/km”，答案 $B=(2\sqrt{7}-2)a$；若按误文计算，最低总费用为 $5a$，不在所列四个选项中。故按通行文科版本录入。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线定义应用
2. 核心方法：$MA-MB=2$，$M$ 在以 $A,B$ 为焦点的双曲线右支；$y=a(MB+MC)=a(MA+MC-2)⩾a(AC-2)$，$AC=2\sqrt{7}$，最低费用 $(2\sqrt{7}-2)a$
3. 避坑指南：第一定义把 $MB$ 换成 $MA-2$，化归为 $MA+MC⩾AC$（三角形不等式）；取等须 $A,M,C$ 共线且 $M$ 在双曲线上

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于双曲线第一定义与三角形不等式，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：$|MA-MB|=2a$ 的轨迹是双曲线；折线最小值化共线；用定义转换线段，化归三角形不等式，检验取等条件在轨迹上

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2009-重庆卷文-20 解-双曲线定义最值
• 2007-湖北文-12 填-双曲线定义与方程
• 2008-重庆文-21 解-双曲线定义与焦半径