2004-福建文-11 单-周期偶函数比大小

本题导读

本题考查函数的奇偶性与周期性，以及单调性的应用。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 定义在 $\mathbf{R}$ 上的偶函数 $f(x)$ 满足 $f(x)=f(x+2)$，当 $x\in [3,4]$ 时，$f(x)=x-2$，则()

A. $f\left(\sin \frac{1}{2}\right)<f\left(\cos \frac{1}{2}\right)$　B. $f\left(\sin \frac{\pi }{3}\right)>f\left(\cos \frac{\pi }{3}\right)$　C. $f(\sin 1)<f(\cos 1)$　D. $f\left(\sin \frac{3}{2}\right)>f\left(\cos \frac{3}{2}\right)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 对 $|t|⩽1$：偶性 $f(t)=f(|t|)$，周期性 $f(|t|)=f(|t|-4)=f(4-|t|)=2-|t|$。
2. $f$ 在 $[0,1]$ 上随 $|t|$ 增大而减小，比较即比 $|\sin |,|\cos |$。
3. $\sin 1>\cos 1$，故 $f(\sin 1)<f(\cos 1)$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

对任意 $|t|⩽1$，由偶函数性质得 $f(t)=f(|t|)$；再由周期 $2$ 得 $f(|t|)=f(|t|-4)$，而 $-4⩽|t|-4⩽-3$，由偶性 $f(|t|-4)=f(4-|t|)$，且 $4-|t|\in [3,4]$，所以 $f(t)=f(4-|t|)=\left(4-|t|\right)-2=2-|t|$.故在 $[-1,1]$ 上 $f$ 随 $|t|$ 增大而减小。因为 $\sin \frac{1}{2}<\cos \frac{1}{2}$，选项 A 不成立；$\sin \frac{\pi }{3}>\cos \frac{\pi }{3}$，选项 B 不成立；$\sin 1>\cos 1$，所以 $f(\sin 1)=2-\sin 1<2-\cos 1=f(\cos 1)$，选项 C 成立；$\sin \frac{3}{2}>\cos \frac{3}{2}$，应有 $f\left(\sin \frac{3}{2}\right)<f\left(\cos \frac{3}{2}\right)$，选项 D 不成立。故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：周期偶函数比大小
2. 核心方法：对 $|t|⩽1$：$f(t)=f(|t|)=f(4-|t|)=2-|t|$，在 $[-1,1]$ 上随 $|t|$ 增大而减小；$\sin 1>\cos 1$，故 $f(\sin 1)<f(\cos 1)$
3. 避坑指南：先用奇偶性搬进 $[0,1]$，再用周期搬进 $[3,4]$；比较即比较 $|\sin |,|\cos |$ 的大小，注意单调方向

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于函数的周期性与奇偶性，教材”函数性质”
2. 结论推广: 一般化：偶函数加周期 $T$，可将任意自变量搬入已知解析式区间；反复用 $f(x)=f(x+T)$ 与 $f(x)=f(-x)$ 缩小自变量到已知区间

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2005-福建卷文-12 单-周期偶函数的零点个数
• 2005-天津卷文-10 单-周期函数对称性比较
• 2008-北京文-14 填-偶函数单调性条件判定