2004-福建文-09 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式，以及各项系数和的求法。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 已知 ${\left(x-\frac{a}{x}\right)}^8$ 展开式中常数项为 $1120$，其中实数 $a$ 是常数，则展开式中各项系数的和是()

A. $2^8$　　　　　B. $3^8$　　　　　C. $1$ 或 $3^8$　　　　　D. $1$ 或 $2^8$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通项中取 4 个 $-\frac{a}{x}$ 时幂为零，常数项 ${\mathrm{C}}_8^4{a}^4=70a^4=1120$，$a^4=16$，$a=\pm 2$。
2. 各项系数和为令 $x=1$ 的值 $(1-a{)}^8$。
3. $a=2$ 时为 $1$，$a=-2$ 时为 $3^8$，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

展开式的通项中，只有取 4 个 $-\frac{a}{x}$ 时 $x$ 的幂为零，此时常数项为 ${\mathrm{C}}_8^4{a}^4=70a^4=1120$，得 $a^4=16$，即 $a=2$ 或 $a=-2$.各项系数的和等于令 $x=1$ 时展开式的值，即 $(1-a{)}^8$：当 $a=2$ 时为 $(-1{)}^8=1$；当 $a=-2$ 时为 $3^8$.故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式定理
2. 核心方法：通项中 $-4$ 个 $\frac{a}{x}$：${\mathrm{C}}_8^4{a}^4=70a^4=1120$，$a=\pm 2$；系数和令 $x=1$ 得 $(1-a{)}^8$，为 $1$ 或 $3^8$
3. 避坑指南：常数项令指数为零得 $a^4=16$，两解勿漏；“系数和”与”二项式系数和”不同，后者才是 $2^8$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二项式定理的通项与系数和，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：常数项令指数为零；各项系数和 $=$ 令 $x=1$ 的值；通项定参数（注意多解），赋值法求系数和

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-07 单-二项式常数项
• 2005-福建卷文-13 填-二项式定理的常数项
• 2004-全国卷III文-06 单-二项式展开常数项