2004-福建文-07 单-反函数图象识别

本题导读

本题考查反函数的求法，以及指数函数图象的特征。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 已知函数 $y={\log }_{2}x$ 的反函数是 $y=f^{-1}(x)$，则函数 $y=f^{-1}(1-x)$ 的图象是()

（A）	（B）
（C）	（D）

🔍【思路分析】

破题导航

1. $y={\log }_{2}x$ 的反函数 $f^{-1}(x)=2^x$。
2. $y=f^{-1}(1-x)=2^{1-x}=2{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$。
3. 减函数、过 $(0,2)$、以 $x$ 轴为渐近线，选 C。

✅【答案】

Success

C

✍【详细解析】

Abstract

由 $y={\log }_{2}x$ 得反函数 $f^{-1}(x)=2^x$，所以 $y=f^{-1}(1-x)=2^{1-x}=2{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$.该函数在其定义域上单调递减，图象过点 $(0,2)$，且以 $x$ 轴为渐近线，对照各选项的图象特征可知对应选项 C，故选 C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反函数图象识别
2. 核心方法：$f^{-1}(x)=2^x$，$y=f^{-1}(1-x)=2^{1-x}=2{\left(\frac{1}{2}\right)}^x$，减函数、过 $(0,2)$、以 $x$ 轴为渐近线
3. 避坑指南：先求反函数再代入 $1-x$；图象过 $(0,2)$ 且递减，认准这两个特征选图

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于反函数与指数函数图象，教材”基本初等函数”
2. 结论推广: 一般化：$y=f^{-1}(1-x)$ 的图象由 $y=f^{-1}(x)$ 关于 $x=\frac{1}{2}$ 翻折；求反函数后代入复合，用单调性、特殊点、渐近线认图

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷文-03 单-反函数的图象
• 2004-全国卷IV文-02 单-指数函数反函数
• 2004-天津文-09 单-反函数求法