2004-福建文-05 单-等差数列前n项和比

本题导读

本题考查等差数列的前 $n$ 项和，以及等差中项性质。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 设 $S_n$ 是等差数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $\frac{a_5}{a_3}=\frac{5}{9}$，则 $\frac{S_9}{S_5}=$()

A. $1$　　　　　　　B. $-1$　　　　　　　C. $2$　　　　　　　D. $\frac{1}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等差数列中 $S_9=9a_5$，$S_5=5a_3$（奇数项和等于项数乘中项）。
2. $\frac{S_9}{S_5}=\frac{9a_5}{5a_3}=\frac{9}{5}\times \frac{5}{9}=1$。
3. 选 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

在等差数列中，$S_9=\frac{9\left(a_1+a_9\right)}{2}=9a_5$，$S_5=5a_3$.所以 $\frac{S_9}{S_5}=\frac{9a_5}{5a_3}=\frac{9}{5}\times \frac{a_5}{a_3}=\frac{9}{5}\times \frac{5}{9}=1$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列前n项和比
2. 核心方法：由 $\frac{a_5}{a_3}=\frac{5}{9}$ 得 $2a_1+13d=0$；$\frac{S_9}{S_5}=\frac{9(a_1+4d)}{5(a_1+2d)}=\frac{9(-\frac{5}{2}d)}{5(-\frac{9}{2}d)}=1$
3. 避坑指南：和的比 $\frac{S_9}{S_5}=\frac{9a_5}{5a_3}$（等差中项性质），比直接凑出 $\frac{a_5}{a_3}=\frac{5}{9}$ 更快

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于等差数列前 $n$ 项和与等差中项，教材”数列”
2. 结论推广: 一般化：$S_{2k-1}=(2k-1)a_k$，故 $\frac{S_9}{S_5}=\frac{9a_5}{5a_3}$；和的比化为中项的比，减少未知数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 19.01 等差数列全总结

类题演练 (Links)

• 2007-江西文-14 填-等差数列前n项和的性质
• 2006-天津文-02 单-等差数列前n项和
• 2010-福建卷文-17 解-Sn与通项及等差中项