2004-福建文-04 单-椭圆离心率

本题导读

本题考查椭圆的通径与离心率。

📌【题干】

Question

（2004年福建卷(文)） 已知 $F_1$、$F_2$ 是椭圆的两个焦点，过 $F_1$ 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 $A$、$B$ 两点，若 $△AB{F}_2$ 是正三角形，则这个椭圆的离心率是()

A. $\frac{\sqrt{2}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 通径 $AB=\frac{2b^2}{a}$，$F_1$ 为 $AB$ 中点。
2. 正三角形的高 $F_1{F}_2=2c=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2b^2}{a}$，即 $2e=\sqrt{3}\left(1-e^2\right)$。
3. 解 $\sqrt{3}{e}^2+2e-\sqrt{3}=0$ 得 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$，选 B。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

设椭圆的半长轴、半短轴、半焦距分别为 $a$，$b$，$c$，则 $b^2=a^2-c^2$.通径长 $AB=\frac{2b^2}{a}$，且 $F_1$ 是 $AB$ 的中点。由于 $△AB{F}_2$ 是正三角形，其高 $F_1{F}_2=2c=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot AB=\frac{\sqrt{3}{b}^2}{a}$.令 $e=\frac{c}{a}$，代入 $b^2=a^2-c^2$，得 $2e=\sqrt{3}\left(1-e^2\right)$，即 $\sqrt{3}{e}^2+2e-\sqrt{3}=0$.因为 $e>0$，解得 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$，故选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆离心率
2. 核心方法：通径 $AB=\frac{2b^2}{a}$，正三角形高 $F_1{F}_2=2c=\frac{\sqrt{3}}{2}\cdot \frac{2b^2}{a}$，得 $2e=\sqrt{3}(1-e^2)$，解得 $e=\frac{\sqrt{3}}{3}$
3. 避坑指南：通径长 $\frac{2b^2}{a}$；$F_1$ 是 $AB$ 中点，正三角形高即 $F_1{F}_2$；离心率方程取正根

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于椭圆的通径与离心率，教材”圆锥曲线”
2. 结论推广: 一般化：通径长 $\frac{2b^2}{a}$，离心率 $e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}$；由几何条件（正三角形）列 $c$ 与 $b$ 的方程，解出 $e$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2004-浙江文-11 单-椭圆离心率
• 2007-大纲Ⅱ文-11 单-椭圆离心率
• 2009-浙江卷文-06 单-椭圆离心率