2004-湖北理-18 解-空间直角坐标系的建立

本题导读

本题考查空间直角坐标系的建立。核心在于空间向量坐标代数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(理)） 如图，在棱长为 1 的正方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，点 $E$ 是棱 $BC$ 的中点，点 $F$ 是棱 $CD$ 上的动点.

(1) 试确定点 $F$ 的位置，使得 $D_{1}E\perp \text{平面 }A{B}_{1}F$；

(2) 当 $D_{1}E\perp \text{平面 }A{B}_{1}F$ 时，求二面角 $C_1-EF-A$ 的大小.（结果用反三角函数值表示）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系与写出坐标：以 $D$ 为原点，射线 $DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系 $D-xyz$。写出 $A,B_1,D_1,E$ 的精确坐标。设 $F(0,\lambda ,0)$，其中 $0\le \lambda \le 1$。
2. 第一问逻辑：由 $D_{1}E\perp \text{平面 }A{B}_{1}F$ 可知，向量 $\overrightarrow{D_{1}E}$ 必须同时垂直于平面内的两个不共线向量 $\overrightarrow{A{B}_1}$ 与 $\overrightarrow{AF}$。通过列出方程组 $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{D_{1}E}\cdot \overrightarrow{A{B}_1}=0\\ \overrightarrow{D_{1}E}\cdot \overrightarrow{AF}=0\end{array}$，解出参数 $\lambda$ 的值，从而确定 $F$ 的物理位置。
3. 第二问逻辑：当 $F$ 的位置固定后，分别求出平面 $C_{1}EF$ 的法向量 ${\vec{n}}_1$ 和平面 $AEF$ 的法向量 ${\vec{n}}_2$。利用公式 $\cos ⟨{\vec{n}}_1,{\vec{n}}_2⟩=\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}$ 求出两法向量夹角的余弦值，结合图形判定二面角是锐角还是钝角，最后用 $\arccos$ 形式输出。

✅【答案】

Success

(1) 当点 $F$ 是棱 $CD$ 的中点时，可使得 $D_{1}E\perp \text{平面 }A{B}_{1}F$

(2) 二面角 $C_1-EF-A$ 的大小为 $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

• 建立空间直角坐标系与坐标设定： 以 $D$ 为坐标原点，射线 $DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴的正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 由于正方体棱长为 1，且 $E$ 是 $BC$ 的中点，可写出各顶点的坐标： $D(0,0,0),A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0)$ $D_1(0,0,1),A_1(1,0,1),B_1(1,1,1),C_1(0,1,1),E\left(\frac{1}{2},1,0\right)$ 因为点 $F$ 是棱 $CD$ 上的动点，设 $F(0,\lambda ,0)$，其中 $0\le \lambda \le 1$。

• （1）试确定点 $F$ 的位置，使得 $D_{1}E\perp \text{平面 }A{B}_{1}F$： 计算相关向量的坐标表示： $\overrightarrow{D_{1}E}=\left(\frac{1}{2},1,-1\right)$ $\overrightarrow{A{B}_1}=(1,1,1)-(1,0,0)=(0,1,1)$ $\overrightarrow{AF}=(0,\lambda ,0)-(1,0,0)=(-1,\lambda ,0)$

  要使 $D_{1}E\perp \text{平面 }A{B}_{1}F$，只需满足 $\overrightarrow{D_{1}E}$ 与平面内两个基底向量同时垂直： $\{\begin{array}{l}\overrightarrow{D_{1}E}\cdot \overrightarrow{A{B}_1}=0\\ \overrightarrow{D_{1}E}\cdot \overrightarrow{AF}=0\end{array}$ 首先核验第一项： $\overrightarrow{D_{1}E}\cdot \overrightarrow{A{B}_1}=\frac{1}{2}\times 0+1\times 1+(-1)\times 1=0$ 恒成立。 再由第二项建立关于 $\lambda$ 的方程： $\overrightarrow{D_{1}E}\cdot \overrightarrow{AF}=\frac{1}{2}\times (-1)+1\times \lambda +(-1)\times 0=0⟹-\frac{1}{2}+\lambda =0⟹\lambda =\frac{1}{2}$ 由于 $\lambda =\frac{1}{2}\in [0,1]$，符合题意。

  答：当点 $F$ 是棱 $CD$ 的中点时，可使得 $D_{1}E\perp \text{平面 }A{B}_{1}F$。

• （2）求二面角 $C_1-EF-A$ 的大小： 当 $\lambda =\frac{1}{2}$ 时，点 $F$ 的坐标固定为 $F\left(0,\frac{1}{2},0\right)$。

  1. 求平面 $AEF$ 的法向量 ${\vec{n}}_1$： 由第（1）问已知，当 $D_{1}E\perp \text{平面 }A{B}_{1}F$ 时， $D_{1}E$ 垂直于该平面内的所有直线。 因为 $A,E,F$ 均在底面 $ABCD$ 内，且 $F$ 为 $CD$ 中点， $E$ 为 $BC$ 中点。 易知平面 $AEF$ 即为底面 $ABCD$，其标准向上法向量可直接选取为： ${\vec{n}}_1=(0,0,1)$

  2. 求平面 $C_{1}EF$ 的法向量 ${\vec{n}}_2=(x,y,z)$： 计算平面内的两个向量： $\overrightarrow{EF}=\left(0,\frac{1}{2},0\right)-\left(\frac{1}{2},1,0\right)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2},0\right)$ $\overrightarrow{F{C}_1}=(0,1,1)-\left(0,\frac{1}{2},0\right)=\left(0,\frac{1}{2},1\right)$ 根据法向量性质建立方程组： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{EF}=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{F{C}_1}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}y=0\\ \frac{1}{2}y+z=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}x=-y\\ z=-\frac{1}{2}y\end{array}$ 取 $y=-2$，解得 $x=2,z=1$。 故平面 $C_{1}EF$ 的一个法向量为： ${\vec{n}}_2=(2,-2,1)$

  3. 计算两法向量的夹角余弦值： 设两法向量 ${\vec{n}}_1$ 与 ${\vec{n}}_2$ 的夹角为 $\theta$，则： $\cos \theta =\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{0\times 2+0\times (-2)+1\times 1}{1\times \sqrt{2^2+(-2{)}^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}$ 观察图形可知，二面角 $C_1-EF-A$ 为钝二面角，其大小记为 $\alpha$，则 $\alpha$ 与 $\theta$ 互补： $\cos \alpha =-\cos \theta =-\frac{1}{3}⟹\alpha =\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$

  答：二面角 $C_1-EF-A$ 的大小为 $\arccos \left(-\frac{1}{3}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的建立与应用；线面垂直条件的向量代数方程转化；利用平面法向量夹角求解空间二面角。
2. 核心方法：空间向量坐标法。
3. 避坑指南：
   • 第二问在求出两法向量的夹角余弦值 $\frac{1}{3}$ 后，必须结合直观图形判定二面角是锐角还是钝角。由于平面 $C_{1}EF$ 向正上方倾斜，它与底面 $ABCD$ 围成的二面角 $C_1-EF-A$ 明显大于 $90^{\circ }$，因此最终的余弦值必须人工修正为负数 $-\frac{1}{3}$，对应的反三角函数结果必须带负号，否则会因逻辑不完整被扣除 2 分。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空间直角坐标系与空间向量，考查正方体中动点相关的线面垂直问题。
2. 结论推广: 对正方体、长方体等易建系的几何体，设动点坐标为参数，把几何位置关系（如线面垂直）转化为向量的数量积方程，解出参数即可确定动点位置。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算
• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比
• 2006-湖南文-02 单-向量平行与垂直定参
• 2006-重庆文-08 单-向量模等求夹角