2004-湖北文-19 解-向量数量积最值

本题导读

本题考查平面向量数量积与几何最值。核心在于设基向量表示数量积，再利用 $\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{BC}$ 与夹角 $\theta$ 的关系夹逼求最值。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 如图，在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，已知 $BC=a$，若长为 $2a$ 的线段 $PQ$ 以点 $A$ 为中点，问 $\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 的夹角 $\theta$ 取何值时 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}$ 的值最大？并求出这个最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 设 $\vec{u}=\overrightarrow{AB},\vec{v}=\overrightarrow{AC},\vec{p}=\overrightarrow{AP}$，则 $|p|=a$，$u\cdot v=0$。
2. $\overrightarrow{BP}=p-u$，$\overrightarrow{CQ}=-p-v$，$\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}=-a^2+p\cdot (u-v)$。
3. $p\cdot (u-v)=\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}||\overrightarrow{BC}|\cos \theta =a^2\cos \theta$，故数量积 $=a^2(\cos \theta -1)⩽0$，$\theta =0$ 时最大 $0$。

✅【答案】

Success

当 $\theta =0$ 时最大，最大值为 $0$

✍【详细解析】

Abstract

设 $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$，$\vec{v}=\overrightarrow{AC}$，$\vec{p}=\overrightarrow{AP}$.因为 $A$ 是 $PQ$ 的中点，所以 $\overrightarrow{AQ}=-\vec{p}$，$\overrightarrow{PQ}=-2\vec{p}$，又 $|PQ|=2a$，故 $|\vec{p}|=a$.在 $\mathrm{Rt}△ABC$ 中，$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$，且 $|\vec{v}-\vec{u}|=|BC|=a$.有 $\overrightarrow{BP}=\vec{p}-\vec{u}$，$\overrightarrow{CQ}=-\vec{p}-\vec{v}$，所以 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}=(\vec{p}-\vec{u})\cdot (-\vec{p}-\vec{v})=-|\vec{p}{|}^2+\vec{p}\cdot (\vec{u}-\vec{v})=-a^2+\vec{p}\cdot (\vec{u}-\vec{v})$.另一方面，$\overrightarrow{PQ}\cdot \overrightarrow{BC}=(-2\vec{p})\cdot (\vec{v}-\vec{u})=2\vec{p}\cdot (\vec{u}-\vec{v})$，故 $\vec{p}\cdot (\vec{u}-\vec{v})=\frac{1}{2}|\overrightarrow{PQ}||\overrightarrow{BC}|\cos \theta =a^2\cos \theta$.于是 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}=a^2(\cos \theta -1)⩽0$，当且仅当 $\cos \theta =1$，即 $\theta =0$（$\overrightarrow{PQ}$ 与 $\overrightarrow{BC}$ 同向）时取等号。因此 $\theta =0$ 时该数量积取得最大值，最大值为 $0$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：$A$ 为 $PQ$ 中点即 $\overrightarrow{AQ}=-\overrightarrow{AP}$；直角三角形的两直角边互相垂直，$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$。
2. 核心方法：设 $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$、$\vec{v}=\overrightarrow{AC}$、$\vec{p}=\overrightarrow{AP}$，由 $|PQ|=2a$ 得 $|\vec{p}|=a$；展开得 $\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{CQ}=-|\vec{p}{|}^2+\vec{p}\cdot (\vec{u}-\vec{v})$，再用 $\overrightarrow{PQ}=-2\vec{p}$ 把 $\vec{p}\cdot (\vec{u}-\vec{v})$ 换成 $a^2\cos \theta$，得 $a^2(\cos \theta -1)\le 0$。
3. 避坑指南：一是把 $|PQ|=2a$ 直接当成 $|\vec{p}|=2a$，中点的作用就白丢了；二是 $\overrightarrow{CQ}$ 的方向写反成 $\vec{p}+\vec{v}$，此时结果为 $a^2(1-\cos \theta )\ge 0$，取到的是最小值 $0$ 而不是最大值——题目问”最大”，答成”最小”照样不得分。凡”以中点为对称中心”的题，落笔先写 $\overrightarrow{AQ}=-\overrightarrow{AP}$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于向量数量积与几何最值，教材”平面向量”
2. 结论推广: 一般化：向量数量积的最值常通过夹角与模长表示后放缩；设基向量，把数量积表示为模与夹角，夹逼求最值

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.08 向量与几何

类题演练 (Links)

• 2005-湖北卷文-17 解-向量数量积构造函数求参数
• 2006-湖北文-16 解-向量数量积三角最值
• 2004-福建文-08 单-向量数量积与夹角