2004-湖北文-14 填-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的通项公式，以及各项系数和与特定项系数的求法。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 已知 ${\left(x^{\frac{1}{2}}+x^{-\frac{1}{2}}\right)}^n$ 的展开式中各项系数的和是 $128$，则展开式中 $x^5$ 的系数是 $\underline{}$.（以数字作答）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 令 $x=1$ 得系数和 $2^n=128=2^7$，故 $n=7$。
2. 通项 ${\mathrm{C}}_7^r(x^{\frac{1}{2}}{)}^{7-r}(x^{-\frac{1}{2}}{)}^r={\mathrm{C}}_7^r{x}^{\frac{7-2r}{2}}$。
3. 令 $\frac{7-2r}{2}=5$ 得 $r=-\frac{3}{2}$ 非整数，无 $x^5$ 项，系数为 $0$。

✅【答案】

Success

$0$

✍【详细解析】

Abstract

令 $x=1$，得到各项系数的和为 $2^n=128=2^7$，所以 $n=7$.二项展开式的通项为 ${\mathrm{C}}_7^r(x^{\frac{1}{2}}{)}^{7-r}(x^{-\frac{1}{2}}{)}^r={\mathrm{C}}_7^r{x}^{\frac{7-2r}{2}}$，其中 $r$ 为 $0$ 到 $7$ 的整数。若展开式中含有 $x^5$ 项，则应有 $\frac{7-2r}{2}=5$，即 $r=-\frac{3}{2}$，这不是整数，因此展开式中没有 $x^5$ 项，其系数为 $0$. （裁定：有转录版本将答案误记为 $35$，系将题目误作整数次幂或异文所致；按本题 $\frac{7-2r}{2}$ 恒为半整数，$5$ 无法取到，系数确为 $0$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式定理
2. 核心方法：令 $x=1$ 得系数和 $2^n=128=2^7$，$n=7$；通项 ${\mathrm{C}}_7^r(x^{\frac{1}{2}}{)}^{7-r}(x^{-\frac{1}{2}}{)}^r={\mathrm{C}}_7^r{x}^{\frac{7-2r}{2}}$，令 $\frac{7-2r}{2}=5$ 得 $r=-\frac{3}{2}$ 非整数，无 $x^5$ 项，系数 $0$
3. 避坑指南：系数和令 $x=1$ 得 $2^n$；指数 $\frac{7-2r}{2}$ 恒为 $\frac{1}{2}$ 的整数倍，$5$ 取不到，故系数 $0$（勿强凑 35）

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于二项式定理，教材”计数原理”
2. 结论推广: 一般化：$(x^a+x^b{)}^n$ 通项指数为 $a(n-r)+br$，令等于目标指数解 $r$，非整数则该项系数为 $0$；赋值法求系数和定 $n$，通项公式定指数

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV文-13 填-二项式特定项系数
• 2004-浙江文-07 单-二项式常数项
• 2005-湖南卷文-13 填-多项二项式系数和