2004-湖北文-03 单-导数意义辨析

本题导读

本题考查导数的概念，以及基本初等函数的求导。

📌【题干】

Question

（2004年湖北卷(文)） 已知函数 $f(x)$ 在 $x=1$ 处的导数为 $3$，则 $f(x)$ 的解析式可能为()

A. $f(x)=(x-1{)}^2+3(x-1)$　　　　　　　　　　　　B. $f(x)=2(x-1)$

C. $f(x)=2(x-1{)}^2$　　　　　　　　　　　　　　　　D. $f(x)=x-1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 逐项求导：A 的 $f^{\prime }(x)=2(x-1)+3$，在 $x=1$ 处为 $3$。
2. B 恒为 $2$，C 为 $4(x-1)$ 在 $x=1$ 为 $0$，D 恒为 $1$。
3. 仅 A 满足 $f^{\prime }(1)=3$，选 A。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

分别求四个选项的导数并代入 $x=1$.选项 A：$f^{\prime }(x)=2(x-1)+3$，$f^{\prime }(1)=3$；选项 B：$f^{\prime }(x)=2$，$f^{\prime }(1)=2$；选项 C：$f^{\prime }(x)=4(x-1)$，$f^{\prime }(1)=0$；选项 D：$f^{\prime }(x)=1$，$f^{\prime }(1)=1$.因此只有选项 A 符合 $f^{\prime }(1)=3$，故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数意义辨析
2. 核心方法：逐项求 $x=1$ 处导数：A 导 $2(x-1)+3$ 在 $x=1$ 为 $3$；B 恒为 $2$；C 为 $4(x-1)$ 在 $x=1$ 为 $0$；D 恒为 $1$；故选 A
3. 避坑指南：只有 $f^{\prime }(1)=3$ 一项满足；求导后代入 $x=1$ 比对，勿只看函数值

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于导数的几何意义，教材”导数”
2. 结论推广: 一般化：$f^{\prime }(x_0)$ 是 $f$ 在 $x_0$ 的瞬时变化率，与函数值无关；逐项求导后代入指定点比对

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练 (Links)

• 2004-全国卷IV文-04 单-导数在某点的值
• 2004-浙江文-21 解-导数单调最值
• 2006-四川文-03 单-导数求切线方程