2004-浙江理-10 单-正三棱柱的几何性质

本题导读

本题考查正三棱柱的几何性质，以及直线与平面所成的角。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(理)）如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中已知 $A B = 1$ ， $D$ 在棱 $B B_{1}$ 上，且 $B D = 1$ ，若 $A D$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成的角为 $α$ ，则 $α =$ ()

A. $\frac{π}{3}$ 　　　　　　　B. $\frac{π}{4}$ 　　　　　　　C. $arcsin \frac{10}{4}$ 　　　　　　　D. $arcsin \frac{6}{4}$

🔍【思路分析】

破题导航

分析平面特征：平面 $A A_{1} C_{1} C$ 是三棱柱的一个侧面。要求 $A D$ 与该侧面所成的角，关键是寻找点 $D$ 在平面 $A A_{1} C_{1} C$ 上的射影。

寻找垂线段：由于侧棱垂直于底面，通过作底面等边 $△ A B C$ 的高线，可以直接确定垂足。过 $B$ 作 $A C$ 的垂线 $B E ⊥ A C$ 垂足为 $E$ ，则 $B E ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ 。

射影转化求角：因为 $D D_{1} ∥ B B_{1} ∥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ，点 $D$ 到平面的距离等于点 $B$ 到平面的距离。过 $D$ 作平面的垂线，垂足为 $E^{'}$ ，则 $∠ D A E^{'}$ 即为所求线面角 $α$ 。在直角 $△ D A E^{'}$ 中利用正弦或正切求出角。

✅【答案】

Success

D

✍【详细解析】

Abstract

解：

第一步：作垂线寻找点 $D$ 在平面 $A A_{1} C_{1} C$ 上的射影 在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，底面 $△ A B C$ 是边长为 1 的正三角形。取 $A C$ 的中点 $E$ ，连接 $B E$ 。因为 $△ A B C$ 为正三角形，所以： $B E ⊥ A C$ 又因为侧棱 $A A_{1} ⊥$ 底面 $A B C$ ，且 $B E \subset$ 平面 $A B C$ ，所以： $A A_{1} ⊥ B E$ 由于 $A C \cap A A_{1} = A$ ，根据线面垂直判定定理， $B E ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ 。

第二步：平移构建直角三角形 因为棱 $B B_{1} ∥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ，点 $D$ 在 $B B_{1}$ 上，过点 $D$ 作平面 $A A_{1} C_{1} C$ 的垂线，其垂足记为 $E^{'}$ ，则线段 $D E^{'}$ 长度等于 $B E$ 的长度。根据等边三角形高线公式，可得垂线段长： $D E^{'} = B E = \frac{3}{2} A B = \frac{3}{2}$ 连接 $A E^{'}$ ，则 $A E^{'}$ 是斜线 $A D$ 在平面 $A A_{1} C_{1} C$ 内的射影。因此，直线 $A D$ 与平面 $A A_{1} C_{1} C$ 所成的角 $α$ 即为： $α = ∠ D A E^{'}$

第三步：计算斜线段 $A D$ 的长度 在侧面 $A B B_{1} A_{1}$ 中，侧棱 $B B_{1} ⊥ A B$ ，故 $△ A B D$ 是直角三角形。已知 $A B = 1$ ， $B D = 1$ ，运用勾股定理求斜边 $A D$ ： $A D = A B^{2} + B D^{2} = 1^{2} + 1^{2} = 2$

第四步：在直角 $△ D A_{1} E^{'}$ 中求解角 $α$ 因为 $D E^{'} ⊥$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ，且 $A E^{'} \subset$ 平面 $A A_{1} C_{1} C$ ，所以 $△ D A E^{'}$ 是以 $∠ D E^{'} A = 9 0^{\circ}$ 为直角的直角三角形。在该直角三角形中，利用正弦公式求出 $sin α$ ： $sin α = \frac{D E ^{'}}{A D} = \frac{\frac{3}{2}}{2} = \frac{3}{2 2} = \frac{6}{4}$ 因此，角 $α$ 的大小为： $α = arcsin \frac{6}{4}$

综合上述， (D) 选项符合题意。

答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：正三棱柱中面面垂直引发的线面垂直关系、线面角在直角三角形中的精确定义与三角函数值计算。

核心方法：等形射影法（传统几何作图法）。

避坑指南：

不要误以为 $∠ D A B$ 或 $∠ D A C$ 是线面角。线面角的唯一定义是斜线与它在平面内射影的夹角。由于 $B$ 和 $C$ 点在侧面外的对称分布，必须作等边三角形的高线才能精准定位射影垂足。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 经典大纲版高考立体几何空间求角（线面角）基础选择题。

结论推广: 一般地，在一个底面边长为 $a$ 的正三棱柱中，动点 $D$ 沿侧棱移动。设 $D$ 到靠拢底面的距离为 $h$ ，则直线 $A D$ 与相对侧面所成角 $α$ 的正弦值恒满足解析通式： $sin α = \frac{3 a}{2 a ^{2} + h ^{2}}$ 。代入本题参数 $a = 1, h = 1 ⟹ sin α = \frac{3}{2 2} = \frac{6}{4}$ 。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

2002-新课标文-19甲解-正三棱柱线面角

2013-浙江卷理-20 解-线面平行

2009-湖北卷文-06 单-三棱柱的高

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