2004-浙江文-20 解-古典概率

本题导读

本题考查古典概型的概率计算。核心在于用计数比求概率，并以”至少两个同一天”的对立事件”五个全不同”简化计算。

📌【题干】

Question

（2004年浙江卷(文)） 某地区有 $5$ 个工厂，由于用电紧缺，规定每个工厂在一周内必须选择某一天停电（选哪一天是等可能的），假定工厂之间的选择互不影响.

(1) 求 $5$ 个工厂均选择星期日停电的概率；

(2) 求至少有两个工厂选择同一天停电的概率.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 每个工厂 $7$ 种选择，总 $7^5$ 种。
2. 全选星期日仅 $1$ 种，概率 $\frac{1}{7^5}$。
3. 五个全不同的方案 $7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3$，所求 $=1-\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{7^5}=\frac{2041}{2401}$。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{1}{7^5}$

(2) $\frac{2041}{2401}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）每个工厂有 $7$ 种等可能选择，所有选择的总数为 $7^5$.其中五个工厂均选择星期日的选择只有一种，所以所求概率为 $\frac{1}{7^5}$. （2）先求五个工厂选择不同日期的概率：五个工厂依次选择不同日期的方案数为 $7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3$，所以至少有两个工厂选择同一天的概率为 $1-\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{7^5}=1-\frac{2520}{16807}=\frac{2041}{2401}$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概率
2. 核心方法：（1）每个工厂 $7$ 种选择，总 $7^5$；全选星期日仅 $1$ 种，概率 $\frac{1}{7^5}$；（2）先求选不同日期方案 $7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3$，所求 $=1-\frac{7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3}{7^5}=\frac{2041}{2401}$
3. 避坑指南：等可能事件用计数比值；“至少两个同一天”取对立事件”五个全不同”更简；分母是 $7^5$ 而非 $7$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于古典概型，教材”概率”
2. 结论推广: 一般化：$P=\frac{\text{有利事件数}}{\text{基本事件总数}}$；“至少一个”用对立事件；等可能事件用计数，复杂事件取对立事件

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 15.01 古典概型

类题演练 (Links)

• 2004-天津文-18 解-古典概型概率
• 2006-山东文-19 解-卡片古典概型
• 2007-大纲Ⅱ文-19 解-独立重复试验与古典概型