2004-江苏卷-01 单-集合的表示方法

本题导读

本题考查集合的表示方法，以及绝对值不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2004年江苏卷） 设集合 $P=\{1,2,3,4\}$, $Q=\{x||x|\le 2,x\in \mathbf{R}\}$, 则 $P\cap Q$ 等于 ()

A. $\{1,2\}$　　　　B. $\{3,4\}$　　　　C. $\{1\}$　　　　D. $\{-2,-1,0,1,2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑（化简集合 $Q$）：已知集合 $Q$ 的特征性质由绝对值不等式 $|x|\le 2$ 控制。根据绝对值的几何意义，该等式的解集在实数轴上表现为到原点距离不超过 2 的闭区间，即 $-2\le x\le 2$。因此， $Q=[2,2]$。
2. 第二步逻辑（求解交集）：根据交集定义 $P\cap Q=\{x|x\in P\text{ 且 }x\in Q\}$。顺次核验有限点集 $P$ 中的每一个离散元素 $1,2,3,4$ 是否落入闭区间 $[-2,2]$ 内部，筛选出合法的公共元素。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 化简描述法集合 $Q$： 已知集合 $Q=\{x||x|\le 2,x\in \mathbf{R}\}$。 解绝对值不等式 $|x|\le 2$ 可得： $-2\le x\le 2$ 用区间表示法，集合 $Q$ 为实数轴上的有界闭空间： $Q=[-2,2]\text{（式1）}$

• 求解交集 $P\cap Q$： 已知有限点集 $P=\{1,2,3,4\}$。 根据交集运算的定义，元素必须同时属于 $P$ 和 $Q$。将 $P$ 中各元素顺次与（式1）的区间进行符合性核验：

  • 当 $x=1$ 时， $-2\le 1\le 2⟹1\in Q$，属于公共元素；
  • 当 $x=2$ 时， $-2\le 2\le 2⟹2\in Q$，属于公共元素；
  • 当 $x=3$ 时， $3>2⟹3\notin Q$，舍去；
  • 当 $x=4$ 时， $4>2⟹4\notin Q$，舍去。

  综上，公共元素仅包含 $1$ 和 $2$，即： $P\cap Q=\{1,2\}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式 $|x|\le a⟺-a\le x\le a$ 的去绝对值法则；离散集合与连续集合交集的筛选性质。
2. 核心方法：定义法。
3. 避坑指南：
   • 切勿将交集运算 $\cap$ 与并集运算 $\cup$ 混淆导致错选 D：选项 D 表现的是满足 $x\in \mathbf{Z}$ 时的条件或并集的部分离散点，而交集要求严格取公共部分。
   • 注意集合 $P$ 属于纯粹的离散整数集，而集合 $Q$ 属于实数 $\mathbf{R}$ 上的连续区间。两者的交集最终由离散点集的形式呈现，卡位边界点 2 属于闭区间内部，必须保留。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题出自高中数学教材中“集合的基本运算”章节的开篇基础练习题，是高考考查集合概念与不等式工具融合的标配首题。
2. 结论推广: 求整数集与区间型不等式的交集，先把不等式解出区间，再在其中取满足条件的整数即可。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01 集合的含义、表示与基本运算
• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2006-四川文-01 单-集合交集运算
• 1981-全国文-01 解-有理数集与无理数集的并交
• 1987-上海-25 解-集合的运算