2004-广东卷理-22 解-直线与椭圆双曲线相交

本题导读

直线 l 同时与椭圆、双曲线相交，且双曲线截得的弦是椭圆弦的三等分。核心是把”三等分”翻译成两个代数条件：两弦中点重合、弦长成 3 倍关系，再分类讨论。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 设直线 $l$ 与椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 相交于 $A$、$B$ 两点，$l$ 又与双曲线 $x^2-y^2=1$ 相交于 $C$、$D$ 两点，$C$、$D$ 三等分线段 $AB$。求直线 $l$ 的方程。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 翻译条件：$C$、$D$ 三等分 $AB$，等价于「线段 $AB$、$CD$ 的中点重合」且「$|AB|=3|CD|$」。
2. 先处理竖直直线：斜率不存在时，设 $l:x=h$，分别代入椭圆、双曲线求竖弦长，用 $|AB|=3|CD|$ 解出 $h$。
3. 再处理一般直线：设 $l:y=kx+b$，联立两个方程，先由「中点重合」推出 $kb=0$，再分 $k=0$、$b=0$ 两种情形，用弦长关系解出 $b$ 或 $k$。

✅【答案】

Success

直线 $l$ 的方程为 $y=\pm \frac{16}{13}$，或 $y=\pm \frac{16}{25}x$，或 $x=\pm \frac{25\sqrt{241}}{241}$。

✍【详细解析】

Abstract

设 $l$ 与椭圆的交点为 $A,B$，与双曲线的交点为 $C,D$。$C,D$ 三等分 $AB$，当且仅当 $AB$ 与 $CD$ 的中点重合，且 $|AB|=3|CD|$。

情形一：$l$ 与 $x$ 轴垂直（斜率不存在）

设 $l:x=h$。代入椭圆 $\frac{x^2}{25}+\frac{y^2}{16}=1$ 得 $y=\pm 4\sqrt{1-\frac{h^2}{25}},|AB|=8\sqrt{1-\frac{h^2}{25}}$ 代入双曲线 $x^2-y^2=1$ 得 $y=\pm \sqrt{h^2-1},|CD|=2\sqrt{h^2-1}$ 由 $|AB|=3|CD|$： $8\sqrt{1-\frac{h^2}{25}}=6\sqrt{h^2-1}$ 两边平方： $64\left(1-\frac{h^2}{25}\right)=36(h^2-1)⟹64-\frac{64}{25}{h}^2=36h^2-36$ $⟹100=\left(36+\frac{64}{25}\right)h^2=\frac{964}{25}{h}^2⟹h^2=\frac{2500}{964}=\frac{625}{241}$ 故 $h=\pm \frac{25}{\sqrt{241}}=\pm \frac{25\sqrt{241}}{241}$，即 $l:x=\pm \frac{25\sqrt{241}}{241}$。

情形二：$l$ 与 $x$ 轴不垂直

设 $l:y=kx+b$。联立椭圆： $(16+25k^2)x^2+50kbx+25b^2-400=0$ 由韦达定理，$x_A+x_B=-\frac{50kb}{16+25k^2}$。

联立双曲线： $(1-k^2)x^2-2kbx-(b^2+1)=0$ （若 $k=\pm 1$，直线与双曲线最多只有一个交点，不合题意，故 $k\ne \pm 1$。） $x_C+x_D=\frac{2kb}{1-k^2}$

由「中点重合」$x_A+x_B=x_C+x_D$： $-\frac{50kb}{16+25k^2}=\frac{2kb}{1-k^2}⟹kb\left(\frac{50}{16+25k^2}+\frac{2}{1-k^2}\right)=0$ 若 $kb\ne 0$，则 $\frac{50}{16+25k^2}=-\frac{2}{1-k^2}$，即 $50(1-k^2)=-2(16+25k^2)$，化简得 $50=-32$，矛盾。故 $kb=0$，即 $k=0$ 或 $b=0$。

（i）$k=0$：$l:y=b$。代入椭圆得 $x=\pm \frac{5}{4}\sqrt{16-b^2}$，$|AB|=\frac{5}{2}\sqrt{16-b^2}$；代入双曲线得 $x=\pm \sqrt{b^2+1}$，$|CD|=2\sqrt{b^2+1}$。由 $|AB|=3|CD|$： $\frac{5}{2}\sqrt{16-b^2}=6\sqrt{b^2+1}⟹\frac{25}{4}(16-b^2)=36(b^2+1)$ $⟹400-25b^2=144b^2+144⟹169b^2=256⟹b=\pm \frac{16}{13}$ 即 $l:y=\pm \frac{16}{13}$。

（ii）$b=0$：$l:y=kx$。代入椭圆得 $x=\pm \frac{20}{\sqrt{16+25k^2}}$，$|AB|=\frac{40}{\sqrt{16+25k^2}}$；代入双曲线得 $x=\pm \frac{1}{\sqrt{1-k^2}}$，$|CD|=\frac{2}{\sqrt{1-k^2}}$。由 $|AB|=3|CD|$： $\frac{40}{\sqrt{16+25k^2}}=\frac{6}{\sqrt{1-k^2}}⟹40\sqrt{1-k^2}=6\sqrt{16+25k^2}$ $⟹1600(1-k^2)=36(16+25k^2)⟹1600-1600k^2=576+900k^2$ $⟹2500k^2=1024⟹k=\pm \frac{16}{25}$ 即 $l:y=\pm \frac{16}{25}x$。

综上，直线 $l$ 的方程为 $y=\pm \frac{16}{13}$，或 $y=\pm \frac{16}{25}x$，或 $x=\pm \frac{25\sqrt{241}}{241}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与椭圆、双曲线的位置关系，弦长公式，弦的中点坐标（韦达定理），分类讨论。
2. 核心方法：
   • 把「三等分」几何条件翻译成「中点重合 + 弦长 3 倍」两个代数等式，是破题关键。
   • 由中点重合先推出 $kb=0$，把问题分成 $k=0$、$b=0$ 两路，避免盲目联立。
3. 避坑指南：
   • 竖直直线（斜率不存在）要单独讨论，不能套用 $y=kx+b$。
   • $k=\pm 1$ 时直线与双曲线最多一个交点，联立前要先排除。
   • 弦长平方时注意别丢掉 $\pm$ 号：本题答案关于原点、坐标轴成对对称，漏写负号会丢解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是直线与椭圆、双曲线两类圆锥曲线「共线弦长成比例」的经典综合题，考查联立消元、弦长公式与分类讨论的通法，运算量较大。
2. 结论推广：一般地，直线 $l$ 与两条共中心、共对称轴的二次曲线相交，若一条曲线截得的弦是另一条的三等分，可统一设 $l:y=kx+b$，先用「中点重合」降维（推出 $k=0$ 或 $b=0$），再分类用弦长公式求解。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.01 椭圆专题全总结
• 18.02 双曲线专题全总结
• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2006-湖南文-07 单-圆上点到直线距离差
• 2007-浙江卷理-18 解-三角方程求角