2004-广东卷理-18 解-空间直角坐标系的建立

本题导读

本题考查空间直角坐标系的建立。核心在于空间向量坐标代数法的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 如图，在长方体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，已知 $AB=4,AD=3,A{A}_1=2$，$E、F$ 分别是线段 $AB、BC$ 上的点，且 $EB=FB=1$.

(1) 求二面角 $C-DE-C_1$ 的正切值；

(2) 求直线 $E{C}_1$ 与 $F{D}_1$ 所成角的余弦值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：以 $D$ 为坐标原点，射线 $DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴的正方向建立空间直角坐标系 $D-xyz$。
2. 写出顶点坐标：根据长方体的结构特征和已知线段长度，确定 $D,C,C_1,D_1,E,F$ 的空间坐标。
3. 第一问逻辑：平面 $C-DE$（即底面 $ABCD$）的一个法向量显然为 ${\vec{n}}_1=(0,0,1)$。求出平面 $C_1-DE$ 的法向量 ${\vec{n}}_2$，利用两法向量的夹角余弦值推出二面角的余弦值，进而通过同角三角函数关系求出正切值。
4. 第二问逻辑：写出向量 $\overrightarrow{E{C}_1}$ 与 $\overrightarrow{F{D}_1}$ 的坐标表示，套用空间向量夹角公式 $\cos \theta =\frac{|\vec{a}\cdot \vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}$ 计算出异面直线所成角的余弦值。

✅【答案】

Success

(1) $\frac{\sqrt{5}}{2}$

(2) $\arccos \frac{2\sqrt{2}}{9}$

✍【详细解析】

Abstract

• 建立空间直角坐标系与坐标设定： 以 $D$ 为原点，射线 $DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向，建立空间直角坐标系 $D-xyz$。 已知 $AB=4$（即 $DC=4$），$AD=3$，$A{A}_1=2$（即 $D{D}_1=2$）。 因为 $EB=1⟹AE=AB-EB=4-1=3$，故点 $E$ 的坐标为 $(3,3,0)$。 因为 $FB=1⟹CF=BC-FB=3-1=2$，故点 $F$ 的坐标为 $(2,4,0)$。 由此写出各相关顶点的坐标： $D(0,0,0),C(0,4,0),D_1(0,0,2),C_1(0,4,2),E(3,3,0),F(2,4,0)$

• （1）求二面角 $C-DE-C_1$ 的正切值： 易知平面 $C-DE$ 即为底面 $ABCD$，其一个标准向上法向量为： ${\vec{n}}_1=(0,0,1)$

  设平面 $C_1-DE$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x,y,z)$。 计算平面内的两个不共线向量： $\overrightarrow{DE}=(3,3,0)-(0,0,0)=(3,3,0)$ $\overrightarrow{D{C}_1}=(0,4,2)-(0,0,0)=(0,4,2)$ 根据法向量垂直于平面内所有向量的性质，建立方程组： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{DE}=0\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{D{C}_1}=0\end{array}⟹\{\begin{array}{l}3x+3y=0\\ 4y+2z=0\end{array}$ 取 $y=-1$，解得 $x=1,z=2$。 故平面 $C_1-DE$ 的一个法向量为： ${\vec{n}}_2=(1,-1,2)$

  设两法向量 ${\vec{n}}_1$ 与 ${\vec{n}}_2$ 的夹角为 $\alpha$，则： $\cos \alpha =\frac{{\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2}{|{\vec{n}}_1|\cdot |{\vec{n}}_2|}=\frac{0\cdot 1+0\cdot (-1)+1\cdot 2}{1\times \sqrt{1^2+(-1{)}^2+2^2}}=\frac{2}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{6}}{3}$ 观察图形可知，二面角 $C-DE-C_1$ 为锐二面角，记为 $\theta$。则 $\cos \theta =\frac{\sqrt{6}}{3}$。 根据同角三角函数平方关系： $\sin \theta =\sqrt{1-{\cos }^2\theta }=\sqrt{1-\frac{6}{9}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$ 则其正切值为： $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }=\frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{\frac{\sqrt{6}}{3}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

  二面角 $C-DE-C_1$ 的正切值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。

• （2）求直线 $E{C}_1$ 与 $F{D}_1$ 所成角的余弦值： 确定两异面直线的方向向量坐标： $\overrightarrow{E{C}_1}=(0,4,2)-(3,3,0)=(-3,1,2)$ $\overrightarrow{F{D}_1}=(0,0,2)-(2,4,0)=(-2,-4,2)$ 计算两向量的内积（点积）与各自的模长： $\overrightarrow{E{C}_1}\cdot \overrightarrow{F{D}_1}=(-3)\times (-2)+1\times (-4)+2\times 2=6-4+4=6$ $|\overrightarrow{E{C}_1}|=\sqrt{(-3{)}^2+1^2+2^2}=\sqrt{9+1+4}=\sqrt{14}$ $|\overrightarrow{F{D}_1}|=\sqrt{(-2{)}^2+(-4{)}^2+2^2}=\sqrt{4+16+4}=\sqrt{24}=2\sqrt{6}$

  设直线 $E{C}_1$ 与 $F{D}_1$ 所成的角为 $\phi$，根据异面直线所成角的定义（范围为 $\left[0,\frac{\pi }{2}\right]$）： $\cos \phi =\frac{|\overrightarrow{E{C}_1}\cdot \overrightarrow{F{D}_1}|}{|\overrightarrow{E{C}_1}|\cdot |\overrightarrow{F{D}_1}|}=\frac{6}{\sqrt{14}\times 2\sqrt{6}}=\frac{3}{\sqrt{84}}=\frac{3}{2\sqrt{21}}=\frac{3\sqrt{21}}{42}=\frac{\sqrt{21}}{14}$

  直线 $E{C}_1$ 与 $F{D}_1$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{21}}{14}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：空间直角坐标系的建立、平面法向量的代数方程组解法、空间向量夹角公式在空间度量问题中的应用。
2. 核心方法：空间向量坐标法。
3. 避坑指南：
   • 写顶点坐标时极易因看错原点和轴向导致数值错误。如本题中 $E$ 点的横坐标是 $AD=3$，纵坐标需要用总长 $4$ 减去 $EB=1$ 得到 $3$，必须要仔细核验长方体各对应棱的长。
   • 最终结论输出时需注意所求的三角函数类型。第一问求的是正切值 $\tan \theta$，利用向量法直接求出的是法向量夹角的余弦值，必须进行弦值转换，切勿直接将余弦值作为最终答案。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 空间直角坐标系的建立与法向量求二面角，考查向量法解立体几何。
2. 结论推广: 用向量法求二面角，先建系求出两平面的法向量，二面角的大小由两法向量夹角（或其补角）确定，需结合图形判断锐钝。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 21.01 空间向量及其运算
• 21.03 空间向量求角

类题演练 (Links)

• 2006-广东卷-17 解-双圆立几二面角与异面角
• 2006-湖北文-02 单-向量垂直定模比
• 2006-重庆文-08 单-向量模等求夹角