2004-广东卷理-16 填-反函数与求法

本题导读

本题考查反函数的概念与求法。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 函数 $f(x)=\ln (\sqrt{x+1}-1)$ ($x>0$) 的反函数 $f^{-1}(x)=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：求出原函数 $f(x)$ 的值域。根据原函数给定的定义域 $x>0$，利用复合函数的单调性顺次推出 $\sqrt{x+1}$ 以及对数真数因式 $\sqrt{x+1}-1$ 的取值范围，从而确定原函数的值域。该值域将无条件作为反函数的定义域。
2. 第二步逻辑：反解自变量 $x$．令 $y=\ln (\sqrt{x+1}-1)$，利用对数与指数的互逆定义将自然对数符号脱去，化为 ${\text{e}}^y=\sqrt{x+1}-1$。通过移项、两边平方等初等代数变形，将 $x$ 孤立地表达为关于 $y$ 的函数。最后完成 $x,y$ 字母互换并缀上定义域。

✅【答案】

Success

${\text{e}}^{2x}+2{\text{e}}^x$ ($x\in \mathbf{R}$)

✍【详细解析】

Abstract

• 求原函数的值域（即反函数的定义域）： 已知原函数的定义域约束为 $x>0$。 根据二次根式函数的单调性： $x>0⟹x+1>1⟹\sqrt{x+1}>1$ 不等式两边同时减去 1，求出对数真数部分的范围： $\sqrt{x+1}-1>0$ 因为自然对数函数 $y=\ln t$ 在 $(0,+\infty )$ 上是严格单调递增的，所以当 $t=\sqrt{x+1}-1\in (0,+\infty )$ 时，其函数值满足： $y=\ln (\sqrt{x+1}-1)\in \mathbf{R}$ (注：当 $x\to 0^{+}$ 时，真数趋于 $0^{+}$，故 $y\to -\infty$；当 $x\to +\infty$ 时， $y\to +\infty$)。 所以，原函数的值域为 $\mathbf{R}$，即反函数的定义域为 $x\in \mathbf{R}$（无特殊值域截断限制）。

• 反解自变量 $x$： 令 $y=\ln (\sqrt{x+1}-1)$，根据对数的定义，将其改写为以 $\text{e}$ 为底的指数方程： ${\text{e}}^y=\sqrt{x+1}-1$ 将常数项 $-1$ 移到方程左侧： ${\text{e}}^y+1=\sqrt{x+1}$ 因为 $x>0⟹\sqrt{x+1}>1$，而 ${\text{e}}^y+1>1$ 恒成立，两边同时进行平方运算： ${\left({\text{e}}^y+1\right)}^2=x+1$ 展开左侧的完全平方式： ${\text{e}}^{2y}+2{\text{e}}^y+1=x+1$ 两边同时消去常数项 1，分离出 $x$： $x={\text{e}}^{2y}+2{\text{e}}^y$

• 互换字母写出最终反函数： 将上式中的自变量 $y$ 与因变量 $x$ 的字母位置进行对调，并结合已求得的定义域范围，得到反函数的解析式： $f^{-1}(x)={\text{e}}^{2x}+2{\text{e}}^x(x\in \mathbf{R})$

填空题最终答案为： ${\text{e}}^{2x}+2{\text{e}}^x$ ($x\in \mathbf{R}$)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：对数式 $y=\ln u⟺u={\text{e}}^y$ 的指对互化基本功；反解自变量后横纵坐标的规范对调；反函数定义域的完整性判定。
2. 核心方法：反解方程法、值域映射法。
3. 避坑指南：
   • 严重遗漏或错算反函数的定义域：高中数学规范要求，写反函数解析式时必须无条件在后方括号内注明其定义域。虽然本题中原函数的值域恰好为 $\mathbf{R}$，不加范围在技术上不影响数值正确性，但对于大多数反函数题型，若不写定义域将直接判定为扣分或错误。请务必养成“求反函数前先求原函数值域”的雷打不动习惯。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题改编自高中数学教材函数基本性质章节关于反函数求法的典型核心习题，属于考查逆向代数变形能力的常规填空题。
2. 结论推广: 一般地，对于由双曲函数或其变体构成的对数图形 $f(x)=\ln \left(\sqrt{x+\alpha }-\beta \right)$，其反函数的代数结构恒呈现二次多项式与指数幂的复合形态。在运算理论中，这种指对互逆映射对应着单参数复杂演化方程的逆运算重构，在现代数学物理方程（如孤立子波解的复杂薛定谔方程逆散射变换）中提供了将复杂边界条件转化为齐次代数空间的底层代数算法工具。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练 (Links)

• 1987-广东文-30 填-函数的值域
• 2006-四川文-02 单-对数型反函数
• 2006-江西文-14 填-反函数求值