2004-广东卷理-02 单-绝对值不等式的解法

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法，以及一元二次不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2004年广东卷(理)） 已知 $A=\{x||2x+1|>3\}$， $B=\{x|x^2+x\le 6\}$，则 $A\cap B=$ ()

A. $[-3,-2)\cup (1,2]$　　　　　　　　　　　　B. $[-3,-2)\cup (1,+\infty )$

C. $(-3,-2]\cup [1,2)$　　　　　　　　　　　　D. $(-\infty ,-3]\cup (1,2]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步逻辑：化简集合 $A$．根据绝对值不等式 $|x|>a$ ($a>0$) 的解法规律 $|2x+1|>3⟺2x+1>3$ 或 $2x+1<-3$，分别解出两个线性不等式，求出集合 $A$ 的区间范围。
2. 第二步逻辑：化简集合 $B$．将一元二次不等式 $x^2+x\le 6$ 移项变形为 $x^2+x-6\le 0$，利用十字相乘法因式分解求出开根边界，根据“小于取中间”的规律写出闭区间。最后在数轴上取两集合区间的公共部分。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

• 解绝对值不等式求集合 $A$： 由 $|2x+1|>3$ 得： $2x+1>3\text{或}2x+1<-3$ 解得 $2x>2⟹x>1$；或 $2x<-4⟹x<-2$。 所以，集合 $A=\{x|x<-2\text{ 或 }x>1\}=(-\infty ,-2)\cup (1,+\infty )$。

• 解一元二次不等式求集合 $B$： 由 $x^2+x\le 6$ 移项得： $x^2+x-6\le 0$ 因式分解得： $(x+3)(x-2)\le 0$ 根据二次函数图象的分布规律，解得： $-3\le x\le 2$ 所以，集合 $B=\{x|-3\le x\le 2\}=[-3,2]$。

• 计算交集 $A\cap B$： 将集合 $A$ 与集合 $B$ 展现在数轴上寻找重叠部分： $\begin{array}{rl}A\cap B& =((-\infty ,-2)\cup (1,+\infty ))\cap [-3,2]\\ & =[-3,-2)\cup (1,2]\end{array}$

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：绝对值不等式与一元二次不等式的解法基本功；区间端点开闭状态（包含与不包含边界）在交集运算中的精确控制。
2. 核心方法：数轴几何表示法。
3. 避坑指南：极易在区间端点处的开闭（括号还是方括号）产生马虎。集合 $A$ 的不等号是严格大于号（$>$），故解出的边界 $-2$ 与 $1$ 均为开边界；集合 $B$ 是小于等于号（$\le$），故解出的边界 $-3$ 与 $2$ 为闭边界。求交集时，开闭相交取开，闭闭相交取闭，必须严格对齐。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 属于不等式与集合交集复合的常规大纲考题，考查绝对值不等式求解与集合运算。
2. 结论推广: 解 $|x-a|>r$ 型不等式得 $x<a-r$ 或 $x>a+r$；解 $|x-b|\le s$ 型不等式得 $b-s\le x\le b+s$。两者求交集，即对各边界值排序取公共部分。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系

类题演练 (Links)

• 1986-广东文-08 单-集合的交集
• 2006-四川文-01 单-集合交集运算
• 2016-北京卷文-01 单-集合