2004-天津理-13 填-分层抽样的基本概念

本题导读

本题考查分层抽样的基本概念，以及抽样比例公式。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(理)） 某工厂生产 $A、B、C$ 三种不同型号的产品，产品数量之比依次为 $2:3:5$，现用分层抽样方法抽出一个容量为 $n$ 的样本，样本中 $A$ 种型号产品有 16 件. 那么此样本的容量 $n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析各层比例：总体中 $A,B,C$ 三种产品的数量之比为 $2:3:5$。
2. 确定 $A$ 型号占样本的比例：在分层抽样中， $A$ 型号产品在样本中所占的比例等于其在总体中的比例，即 $\frac{2}{2+3+5}$。
3. 建立方程求解 $n$：利用“ $A$ 种型号的样本数 = 总样本容量 $n\times A$ 型号占比”列出方程 $\frac{2}{10}n=16$，解出 $n$。

✅【答案】

Success

$80$

✍【详细解析】

Abstract

解： 根据分层抽样的原理，样本中各类产品的数量之比应等于总体中各类产品的数量之比。 已知总体中 $A、B、C$ 三种不同型号的产品数量之比依次为： $2:3:5$

因此， $A$ 种型号的产品数量占总产品数量的比例为： $P_A=\frac{2}{2+3+5}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}$

已知抽出的样本总容量为 $n$，则样本中 $A$ 种型号产品的件数应为： $\text{样本中 }A\text{ 种产品数}=n\times P_A=\frac{1}{5}n$

题目给出样本中 $A$ 种型号产品实际上有 16 件，代入建立一元一次方程： $\frac{1}{5}n=16$ 方程两边同时乘以 5，解得： $n=16\times 5=80$

故此样本的容量 $n=80$。

答案：80

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：分层抽样按比例抽取的几何特征。
2. 核心方法：比例系数法（或分式方程法）。
3. 避坑指南：
   • 不要混淆各型号产品的对应比例。题干中比例依次为 $2:3:5$，对应 $A:B:C$。确保分子取到的是 $A$ 的比例份额 2，而不是 $B$ 或 $C$ 的份额。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 经典的高考统计板块基础填空题。
2. 结论推广: 一般地，若总体各层比例为 $k_1:k_2:\cdots :k_m$，某一层 $i$ 抽取的样本数为 $x_i$，则总样本容量 $n$ 恒满足通用计算公式： $n=\frac{{\sum }_{j=1}^m{k}_j}{k_i}\cdot x_i$。直接代入本题参数： $n=\frac{2+3+5}{2}\times 16=\frac{10}{2}\times 16=5\times 16=80$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.01 随机抽样、平均数与方差

类题演练 (Links)

• 2003-河南卷-14 填-分层抽样
• 2006-湖北文-17 解-分层抽样比例人数
• 2006-重庆文-07 单-分层抽样