2004-天津文-08 单-动点轨迹判定

本题导读

本题考查动点轨迹，以及三垂线定理。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 如图，定点 $A$ 和 $B$ 都在平面 $\alpha$ 内，定点 $P\notin \alpha$，$PB\perp \alpha$，$C$ 是 $\alpha$ 内异于 $A$ 和 $B$ 的动点，且 $PC\perp AC$.那么，动点 $C$ 在平面 $\alpha$ 内的轨迹是()

A. 一条线段，但要去掉两个点　　　　B. 一个圆，但要去掉两个点

C. 一个椭圆，但要去掉两个点　　　　D. 半圆，但要去掉两个点

🔍【思路分析】

破题导航

1. $PB\perp \alpha$，$BC$ 是 $PC$ 在 $\alpha$ 内的射影。
2. $PC\perp AC$，由三垂线定理 $BC\perp AC$。
3. $C$ 在以 $AB$ 为直径的圆上（除 $A,B$）。

✅【答案】

Success

B

✍【详细解析】

Abstract

因 $PB\perp \alpha$，$BC$ 是 $PC$ 在平面 $\alpha$ 内的射影。由 $PC\perp AC$ 及三垂线定理，得 $BC\perp AC$.故 $\angle ACB=90^{\circ }$，点 $C$ 在以 $AB$ 为直径的圆上。又 $C$ 异于 $A$ 和 $B$，故轨迹是去掉 $A,B$ 两点的圆，选 B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：动点轨迹判定
2. 核心方法：$PB\perp \alpha$、$PC\perp AC$，由三垂线定理 $BC\perp AC$，故 $C$ 在以 $AB$ 为直径的圆上（除 $A,B$）
3. 避坑指南：三垂线定理：$PC\perp AC$ 且 $PB\perp \alpha$ 推 $BC\perp AC$；$C$ 轨迹是去掉 $A,B$ 两点的圆

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于动点轨迹，教材”空间点线面的位置关系”
2. 结论推广: 一般化：三垂线定理把异面垂直转化为平面内垂直，得圆的轨迹；由 $PC\perp AC$、$PB\perp \alpha$ 推 $BC\perp AC$，轨迹是直径圆（去两端点）

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系

类题演练 (Links)

• 2004-北京卷文-06 单-正方体动点轨迹
• 2006-四川文-08 单-阿氏圆轨迹面积
• 2007-北京文-19 解-圆与双曲线轨迹