2004-天津文-07 单-直线与圆的位置关系

本题导读

本题考查直线与圆的位置关系，以及斜率的范围。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 若过定点 $M(-1,0)$ 且斜率为 $k$ 的直线与圆 $x^2+4x+y^2-5=0$ 在第一象限内的部分有交点，则 $k$ 的取值范围是()

A. $0<k<\sqrt{5}$　　　　B. $-\sqrt{5}<k<0$　　　　C. $0<k<\sqrt{13}$　　　　D. $0<k<5$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆化为 $(x+2{)}^2+y^2=9$，圆心 $(-2,0)$、半径 $3$。
2. 过 $M$ 的直线交第一象限圆弧，$k>0$。
3. 上界为过 $M$ 与圆弧相切的斜率 $\sqrt{5}$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

圆 $x^2+4x+y^2-5=0$ 即 $(x+2{)}^2+y^2=9$，圆心 $(-2,0)$、半径 $3$.过 $M(-1,0)$ 斜率为 $k$ 的直线与第一象限内的圆弧（$x>-2$ 且 $y>0$ 的部分）有交点，须 $k>0$.当直线与圆弧相切时 $k$ 取上界，切线斜率为 $\sqrt{5}$，故 $0<k<\sqrt{5}$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：直线与圆的位置关系
2. 核心方法：圆 $x^2+4x+y^2-5=0$ 即 $(x+2{)}^2+y^2=9$，圆心 $(-2,0)$、半径 $3$；过 $M(-1,0)$ 斜率 $k$ 的直线与第一象限圆弧有交点，$k$ 上界为过 $M$ 且切于上圆弧的斜率 $\sqrt{5}$
3. 避坑指南：圆第一象限部分是 $x>-2$ 且 $y>0$ 的弧；$k>0$（交第一象限），上界 $k<\sqrt{5}$（切点斜率）

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于直线与圆的位置关系，教材”直线与圆”
2. 结论推广: 一般化：过定点直线与圆（或某段弧）相交，斜率范围由切线斜率界定；配方求圆心半径，用切点斜率定参数上界

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2006-湖北文-13 填-直线与圆相交定斜率
• 2005-全国卷I文-12 单-圆的切线斜率
• 2005-北京春文-06 单-直线截圆弦长