2006-湖北文-13 填-直线与圆相交定斜率

本题导读

本题考查直线与圆，以及位置关系。

📌【题干】

Question

（2006年湖北卷(文)） 若直线 $y=kx+2$ 与圆 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=1$ 有两个不同的交点，则 $k$ 的取值范围是　　　　。

🔍【思路分析】

破题导航

1. 圆 $(x-2{)}^2+(y-3{)}^2=1$ 圆心 $(2,3)$，半径 $1$。
2. 直线 $kx-y+2=0$ 到圆心距离 $d=\frac{|2k-3+2|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|2k-1|}{\sqrt{k^2+1}}$。
3. 两交点 $\iff d<1$，即 $(2k-1{)}^2<k^2+1$。
4. 展开 $4k^2-4k+1<k^2+1\Rightarrow 3k^2-4k<0\Rightarrow 0<k<\frac{4}{3}$。

✅【答案】

Success

$\left(0,\frac{4}{3}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

直线 $kx-y+2=0$，圆心 $(2,3)$，半径 $r=1$． 圆心到直线的距离 $d=\frac{|2k-3+2|}{\sqrt{k^2+1}}=\frac{|2k-1|}{\sqrt{k^2+1}}$． 直线与圆有两个不同交点 $\iff d<1$，即 $|2k-1|<\sqrt{k^2+1}⟺(2k-1{)}^2<k^2+1⟺3k^2-4k<0⟺0<k<\frac{4}{3}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与圆相交定斜率

核心方法：圆心 $(2,3)$ 到直线距离 $d=\frac{|2k-1|}{\sqrt{k^2+1}}<1$，解 $0<k<\frac{4}{3}$

避坑指南：直线过 $(0,2)$；两交点 ⟺ 距离 $<$ 半径；平方后 $3k^2-4k<0$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 直线与圆相交定斜率，直线与圆位置关系

结论推广: 圆心到直线距离 $<$ 半径

方法推广: 相交 ⟺ $d<r$，平方消绝对值解二次不等式

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 17.05 直线与圆的位置关系

类题演练 (Links)

• 2008-山东文-11 单-圆与两线相切定方程
• 2008-陕西文-05 单-直线与圆相切
• 2009-辽宁文-07 单-直线与圆相切定圆
• 2013-安徽卷文-06 单-圆的弦长