2004-天津文-04 单-反向共线向量

本题导读

本题考查共线向量与向量的模。

📌【题干】

Question

（2004年天津卷(文)） 若平面向量 $\vec{b}$ 与向量 $\vec{a}=(1,-2)$ 的夹角是 $180^{\circ }$，且 $|\vec{b}|=3\sqrt{5}$，则 $\vec{b}=$()

A. $(-3,6)$　　　　B. $(3,-6)$　　　　C. $(6,-3)$　　　　D. $(-6,3)$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 夹角 $180^{\circ }$，$\vec{b}=t\vec{a}$（$t<0$）。
2. $|\vec{a}|=\sqrt{5}$，$|\vec{b}|=|t|\cdot \sqrt{5}=3\sqrt{5}$。
3. $|t|=3$，$t=-3$，$\vec{b}=(-3,6)$。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

向量 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 的夹角为 $180^{\circ }$，故存在 $t<0$ 使 $\vec{b}=t\vec{a}$.又 $|\vec{a}|=\sqrt{1^2+(-2{)}^2}=\sqrt{5}$，故 $|\vec{b}|=|t||\vec{a}|=|t|\sqrt{5}=3\sqrt{5}$，得 $|t|=3$，由 $t<0$ 得 $t=-3$，故 $\vec{b}=-3(1,-2)=(-3,6)$，选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：反向共线向量
2. 核心方法：$\vec{b}$ 与 $\vec{a}=(1,-2)$ 夹角 $180^{\circ }$，故 $\vec{b}=t\vec{a}$（$t<0$）；$|\vec{a}|=\sqrt{5}$，$|\vec{b}|=3\sqrt{5}$，$t=-3$，$\vec{b}=(-3,6)$
3. 避坑指南：反向共线 $t<0$；$|t|\cdot \sqrt{5}=3\sqrt{5}\Rightarrow |t|=3$，取 $t=-3$

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 源于共线向量与模，教材”平面向量”
2. 结论推广: 一般化：两向量夹角 $180^{\circ }⟺$ 反向共线，$\vec{b}=t\vec{a}$（$t<0$）；由模的比定 $|t|$，由反向定 $t<0$

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-16 解-向量共线与模
• 2012-浙江卷文-07 单-向量模与共线
• 2005-山东卷文-08 单-向量共线的判定