2004-北京卷理-06 单-不等式的性质

本题导读

本题考查不等式的性质，以及实数正负号的判定。

📌【题干】

Question

（2004年北京卷(理)） 已知 $a、b、c$ 满足 $c<b<a$ 且 $ac<0$，那么下列选项中一定成立的是 ()

A. $ab>ac$　B. $c(b-a)<0$　C. $c{b}^2<a{b}^2$　D. $ac(a-c)>0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析已知条件确定正负号：
   • 已知 $c<b<a$，且乘积 $ac<0$（说明 $a$ 与 $c$ 异号）。
   • 结合 $c<a$，只能满足最大值 $a$ 为正数，最小值 $c$ 为负数，即： $a>0,c<0$
   • 中间变量 $b$ 的正负不确定，可能为正、为负或为零。
2. 逐项比对与性质验证：
   • 对于 (A)：考虑从已知不等式出发，利用不等式两边同乘正数方向不变的性质。
   • 对于 (B)、(C)、(D)：分析代数式的每一部分的符号，进行正负号乘法运算判定，或者寻找使之不成立的 $b$ 的特殊值。

✅【答案】

Success

A

✍【详细解析】

Abstract

由已知条件 $c<b<a$ 且 $ac<0$ 可知， $a$ 与 $c$ 互为异号实数。 因为 $c<a$，所以必定满足： $a>0\text{且}c<0$

下面对四个选项的必然性进行逐一推导与辨析：

• 对于 (A) 选项： 已知条件为 $c<b<a$，提取其中一部分： $c<b$ 因为已证 $a>0$，根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以同一个严格的正数，不等号的方向保持不变。 将 $c<b$ 两边同时乘以 $a$，得： $ac<ab⟹ab>ac$ 该不等式由已知条件严格推导得出，一定成立。

• 对于 (B) 选项： 因为 $b<a⟹b-a<0$。 又因为 $c<0$，根据实数乘法法则，两个负数相乘，积为正数： $c(b-a)>0$ 故 (B) 选项中 $<0$ 恒不成立。

• 对于 (C) 选项： 已知 $c<a$。若 $b\ne 0$，则 $b^2>0$，两边同乘 $b^2$ 得 $c{b}^2<a{b}^2$。 但题目并未限制 $b$ 不能为 $0$。由于 $c<0<a$，参数 $b$ 完全可以取到 $0$。 反例：当 $b=0$ 时， $c{b}^2=0$ 且 $a{b}^2=0$，此时 $c{b}^2=a{b}^2$，严格小于号不成立。 故 (C) 选项不一定成立。

• 对于 (D) 选项： 因为 $c<a⟹a-c>0$（正数减负数恒为正）。 已知 $ac<0$。根据实数乘法法则，正数与负数相乘，积为负数： $ac(a-c)<0$ 故 (D) 选项中 $>0$ 恒不成立。

综上所述，一定成立的选项是 (A)。

故选 (A)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：不等式两端同乘正数保号性；实数减法与乘法的正负号法则；特值法在否定选择项中的应用。
2. 核心方法：正负号代数推导法、特值排除法。
3. 避坑指南：
   • 忽视零的临界干扰：在分析 (C) 选项时，很多学生由于直觉认为 $c<a$ 两边同乘平方项 $b^2$ 必然保持原方向，从而误选 C。必须高度警惕变量为零的退化状态。只要取 $b=0$，两端直接化简为 0 相等，即可快速排除该项。
   • 符号推导主观想当然：在判定 (B) 和 (D) 时，应严格按照拆分因式的方法（如将 $c(b-a)$ 拆为负号 $\times$ 负号 = 正号）进行推演，避免直觉误判。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题是 2004 年高考北京卷理科数学的第六道选择题，属于不等式性质大纲中考查逻辑推理与代数控算的基本得分题。
2. 结论推广: 本题可推广为通用符号矩阵性质。若实数不等式序列满足 $x_1<x_2<\cdots <x_n$ 且两端异号 $x_1{x}_n<0$。对于任意满足 $1<k<n$ 的中转项 $x_k$，其两端项的任意线性正组合与其乘积满足确定的符号流向，这一性质构成了现代矩阵分析中**全正矩阵（Totally Positive Matrices）**和符号定性推导的基本初等判定原型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2002-苏豫粤卷-08 单-对数函数的单调性
• 2020-新高考I卷-12 多-信息熵
• 1960-全国-06 解-方程组解为正数的条件